🟦 极点极线与调和点列

1 极点极线

(1) 一般二次曲线的极点极线公式

对于二次曲线 $A x^{2} + B y^{2} + C x y + D x + E y + F = 0$ ，极点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为： $A x_{0} x + B y_{0} y + C \frac{x _{0} y + y _{0} x}{2} + D \frac{x _{0} + x}{2} + E \frac{y _{0} + y}{2} + F = 0$ 其替换规则为（半代半不代）： - $x^{2} \to x_{0} x$ - $y^{2} \to y_{0} y$ - $x y \to \frac{x _{0} y + y _{0} x}{2}$ - $x \to \frac{x _{0} + x}{2}$ - $y \to \frac{y _{0} + y}{2}$ -

(2) 圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）

椭圆方程： $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ，极点 $P (x_{0}, y_{0})$ 对应的极线方程为： $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$

(1) 当极点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆外时， $P A, P B$ 为椭圆的两条切线，此时直线 $A B$ 就是点 $P$ 对应的极线。切点为 $A, B$ ，则极线为切点弦 $A B$ ： $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ ；

(2) 极点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆上，过点 $P$ 作椭圆的切线 $l$ ，则极线为切线 $l$ ： $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ ；

(3) 极点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在椭圆内，过点 $P$ 作椭圆的弦 $A B$ ，分别过 $A, B$ 作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线 $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ ；

(3) 圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线

极线的几何画法

(1) 点 $P$ 在椭圆上 - 极线 = 过点 $P$ 的切线

(2) 点 $P$ 在椭圆外 - 极线 = 点 $P$ 对应的切点弦（连接两条切线切点的直线）

(3) 点 $P$ 在椭圆内 (1) 极线 = 以点 $P$ 为对角线交点的椭圆内接四边形，两组对边交点的连线

(2) 极线 = 过点 $P$ 的弦的两个端点处，椭圆切线交点的轨迹

2. 调和点列

线段端点和内外分点依次构成调和点列。一般地，调和点列满足： $\frac{∣ P _{1} A ∣}{∣ P _{1} B ∣} = \frac{∣ P _{2} A ∣}{∣ P _{2} B ∣} = λ$

(1) 调和点列的充要条件

若 $A, C, B, D$ 四点构成调和点列，则有： $\frac{A C}{A D} = \frac{B C}{B D} ⟺ \frac{2}{A B} = \frac{1}{A D} + \frac{1}{A C}$ 证明： $\frac{2}{A B} = \frac{1}{A D} + \frac{1}{A C} ⟺ \frac{1}{A D} - \frac{1}{A B} = \frac{1}{A B} - \frac{1}{A C}$ $⟺ \frac{A B - A D}{A D \cdot A B} = \frac{A C - A B}{A B \cdot A C} ⟺ \frac{B D}{A D} = \frac{B C}{A C}$

(2) 调和点列与极点极线的联系

过极点 $P$ 作任意直线，与椭圆交于 $M, N$ ，与极线交于点 $D$ ，则点 $M, D, N, P$ 成调和点列。若点 $P$ 的极线通过另一点 $D$ ，则 $D$ 的极线也通过 $P$ ，称 $P, D$ 互为共轭点。当极点在椭圆外时，极线在椭圆外，此时四个点 $M, D, N, P$ 依然符合调和点列的性质。

3 自极三角形

若 $A B C D$ 是椭圆的一个内接四边形，点 $P$ 是四边形对角线的交点，则：

边 $A B$ 与边 $C D$ 的交点 $M$ 在点 $P$ 对应的极线上
边 $B C$ 与边 $A D$ 的交点 $N$ 在点 $P$ 对应的极线上即直线 $M N$ 为点 $P$ 的极线。同理：
$P M$ 为点 $N$ 对应的极线 - $P N$ 为点 $M$ 对应的极线因此， $△ M N P$ 称为自极三角形。设直线 $M N$ 交圆锥曲线于点 $A, B$ 两点，则 $P A, P B$ 恰为圆锥曲线的两条切线。

4 椭圆内接梯形

如图，椭圆内接四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线交点为 $E (x_{0}, y_{0})$ 。 - 点 $E$ 对应的极线方程为： $\frac{x _{0} x}{a ^{2}} + \frac{y _{0} y}{b ^{2}} = 1$ - 该极线的斜率为： $k = - \frac{b ^{2} x _{0}}{a ^{2} y _{0}}$ - 该极线与 $A D, B C$ 平行。 - 点 $F$ 对应的极线也与 $A D, B C$ 平行。

5 调和线束斜率模型

要点诠释

若 $A, C, B, D$ 构成调和点列， $O$ 为直线 $A B$ 外任意一点，则直线 $O A, O C, O B, O D$ 称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点 $A^{'}, C^{'}, B^{'}, D^{'}$ 仍构成调和点列。

调和线束斜率关系

对于一组调和线束 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ ，记其斜率分别为 $k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ ，则有： $(k_{4} - k_{1}) (k_{3} - k_{2}) = (k_{4} - k_{3}) (k_{2} - k_{1})$

1. 调和线束斜率模型之等差关系

若 $k_{4}$ 不存在（即直线垂直于 $x$ 轴），则 $k_{1} + k_{3} = 2 k_{2}$ ；

若 $k_{2}$ 不存在，则 $k_{1} + k_{3} = 2 k_{4}$ ；
若 $k_{1}$ 不存在，则 $k_{2} + k_{4} = 2 k_{3}$ ； - 若 $k_{3}$ 不存在，则 $k_{2} + k_{4} = 2 k_{1}$ 。

2. 调和线束斜率模型之调和关系（斜率倒数构成等差）

若 $k_{4} = 0$ ，则 $\frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{3}} = \frac{2}{k _{2}}$ 。

若 $k_{2} = 0$ ，则 $\frac{1}{k _{1}} + \frac{1}{k _{3}} = \frac{2}{k _{4}}$ ；若 $k_{1} = 0$ ，则 $\frac{1}{k _{2}} + \frac{1}{k _{4}} = \frac{2}{k _{3}}$ ；若 $k_{3} = 0$ ，则 $\frac{1}{k _{2}} + \frac{1}{k _{4}} = \frac{2}{k _{1}}$ 。

3. 调和线束斜率模型之角平分线模型

若 $k_{2}$ 和 $k_{4}$ 一个不存在（垂直x轴），另一个为 $0$ ，则 $k_{1} + k_{3} = 0$ ；
若 $k_{1}$ 和 $k_{3}$ 一个不存在，另一个为 $0$ ，则 $k_{2} + k_{4} = 0$ 。

4. 调和线束平行线截中点模型

要点诠释：与调和线束的一条直线平行的直线截另外三条直线，其中一个交点为另外两个交点的中点。过点 $P$ 的线束 $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ ，以下3个条件中，若其中2个成立，则可推出第3个：

$l_{4}$ 与 $l_{5}$ 平行；
$A M = B M$ ； 3. $l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}$ 为调和线束。

∑ ( Math )

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