23.06 期望的线性相关性

概率论：随机变量期望与方差性质整理

设 $X,Y$ 为两个不同的随机变量，其分布律分别为：

• $P(X=x_i)=p_i$
• $P(Y=y_j)=q_j$

1. 期望的线性性质

公式： $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

推导过程： \begin{align*} E(X+Y)&=\sum_i\sum_j (x_i+y_j)p_iq_j\\ &=\sum_j q_j\sum_i (x_i+y_j)p_i\\ &=\sum_j q_j\left(\sum_i x_i p_i + y_j\sum_i p_i\right)\\ &=\sum_j q_j(E(X)+y_j)\\ &=E(X)\sum_j q_j + \sum_j y_j q_j\\ &=E(X)+E(Y) \end{align*}

推广到 $n$ 个随机变量： $E\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)={\sum }_{i=1}^{n}E(X_i)$

2. 独立随机变量乘积的期望

公式（仅当 $X,Y$ 独立时成立）： $E(XY)=E(X)E(Y)$

推导过程： \begin{align*} E(XY)&=\sum_i\sum_j x_i y_j p_i q_j\\ &=\sum_i x_i p_i \sum_j y_j q_j\\ &=E(X)E(Y) \end{align*} >

推广到 $n$ 个独立随机变量： $E\left({\prod }_{i=1}^n{X}_i\right)={\prod }_{i=1}^{n}E(X_i)$

注意： 此性质仅对相互独立的随机变量成立。若 $X,Y$ 不独立，该等式不成立；例如 $E(X^2)\ne E(X{)}^2$。

3. 和的方差性质

公式： $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)]$

若 $X,Y$ 相互独立，则 $E(XY)=E(X)E(Y)$，公式简化为： $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

推导过程： \begin{align*} D(X+Y)&=E((X+Y)^2)-E^2(X+Y)\\ &=E(X^2+2XY+Y^2)-[E(X)+E(Y)]^2\\ &=E(X^2)+E(Y^2)+2E(XY)-E^2(X)-2E(X)E(Y)-E^2(Y)\\ &=[E(X^2)-E^2(X)]+[E(Y^2)-E^2(Y)]+2[E(XY)-E(X)E(Y)]\\ &=D(X)+D(Y)+2[E(XY)-E(X)E(Y)] \end{align*}

推广到 $n$ 个独立随机变量： $D\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i\right)={\sum }_{i=1}^{n}D(X_i)$

4. 乘积的方差性质（不常用）

公式： $D(XY)=E(X^2{Y}^2)-E^2(XY)$

若 $X,Y$ 相互独立，则： \begin{align*} D(XY)&=E(X^2)E(Y^2)-E^2(X)E^2(Y)\\ &=[D(X)+E^2(X)][D(Y)+E^2(Y)]-E^2(X)E^2(Y)\\ &=D(X)D(Y)+D(X)E^2(Y)+D(Y)E^2(X) \end{align*}