12 填-向量综合

本题导读

本题是 2025 年上海卷数学填空题的压轴题. 通过符号函数定义向量夹角类型，考查学生对平面向量数量积本质的理解，以及利用坐标法和三角函数最值求解向量模长取值范围的能力.

📌 【题干】

Question

已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$，$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 是平面内三个不同的单位向量。若 $f(\vec{a}\cdot \vec{b})+f(\vec{b}\cdot \vec{c})+f(\vec{c}\cdot \vec{a})=0$，则 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|$ 的取值范围是 ______ .

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 数值组合分析：函数 $f(x)$ 的值域为 $\{-1,0,1\}$。设三项分别为 $x_1,x_2,x_3$，满足 $x_1+x_2+x_3=0$。可能的组合为：

• 情况 A：$\{0,0,0\}$，即 $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=0$（两两垂直）.
• 情况 B：$\{1,0,-1\}$（及其排列），即一对垂直，一对锐角，一对钝角.

2. 维数约束排除：在二维平面内，不可能存在三个两两垂直的非零向量，故情况 A 排除.
3. 坐标建模：设 $\vec{a}\perp \vec{b}$，建立直角坐标系，利用单位向量性质将 $\vec{c}$ 参数化为 $(\cos \theta ,\sin \theta )$.
4. 范围求解：根据符号函数的正负要求确定 $\theta$ 范围，利用辅助角公式求解模长函数的最值.

✅ 【答案】

点击查看答案

$(1,\sqrt{5})$

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 建立坐标系 由分析知，必然有一对向量垂直。不妨设 $f(\vec{a}\cdot \vec{b})=0$，即 $\vec{a}\perp \vec{b}$. 设 $\vec{a}=(1,0)$，$\vec{b}=(0,1)$. 设第三个单位向量 $\vec{c}=(\cos \theta ,\sin \theta )$，其中 $\theta \in [0,2\pi )$.

2. 确定 $\theta$ 的范围 根据已知条件 $f(\vec{b}\cdot \vec{c})+f(\vec{c}\cdot \vec{a})=0$，剩下的两个符号函数值必须互为相反数（$1$ 与 $-1$）. 不妨设：

• $f(\vec{c}\cdot \vec{a})=1⟹\cos \theta >0$

• $f(\vec{b}\cdot \vec{c})=-1⟹\sin \theta <0$ 满足 $\cos \theta >0$ 且 $\sin \theta <0$ 的角度 $\theta$ 位于第四象限： $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$.

3. **构造模长平方函数 计算目标模长的平方： $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2+|\vec{c}{|}^2+2(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a})$ 代入单位向量模长为 1 及坐标关系： $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2=1+1+1+2(0+\sin \theta +\cos \theta )=3+2(\sin \theta +\cos \theta )$

4. 求解取值范围 利用辅助角公式：$\sin \theta +\cos \theta =\sqrt{2}\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)$. 当 $\theta \in \left(-\frac{\pi }{2},0\right)$ 时，$\left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\in \left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$. 在此区间内，正弦值的范围为： $\sin \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. 代入模长平方公式： $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2\in \left(3+2\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),3+2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{|}^2\in (1,5)$. 开方得： $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|\in (1,\sqrt{5})$.

故填：$(1,\sqrt{5})$

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义符号函数的离散值域划分、基于直角正交组的平面维数拦截、基底建系下的动向量参数化（圆的参数方程）、辅助角公式的非对称开区间边界控制。
2. 核心方法：基底建系坐标法（向量最值杀手锏）。解决平面向量涉及“多个单位向量组合求取值范围或最值”时，强行使用纯几何的平行四边形法则或者向量三角不等式放大，极难控死开区间的端点开闭。本题演示的**“基底坐标参数化法”**（抓住互相垂直的 $\vec{a},\vec{b}$ 锁死坐标轴，将第三个动向量化为极坐标 $(\cos \theta ,\sin \theta )$ ），能将空间几何问题无损坍塌为单纯的一元三角多项式，方向处于绝对的确定性大盘中，效率极高。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（直接套用 $\{0,0,0\}$ 错选常数）：本题最强隐形杀手是情况一的 $\{0,0,0\}$ 组合。很多粗心的考生在草稿纸上解出两两垂直后，盲目判定 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 是空间直角坐标系的三条轴，顺手套用勾股定理算出 $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$，从而直接在横线上写下常数答案。务必牢记：题目已经死锁在“平面内”，在二维地基上绝不能生长出三维正交结构.
• 避坑指南 2（端点开闭误判导致功亏一篑）：由于题干规定三个向量“互不相同”，且在符号函数拦截象限时， $\sin \theta$ 与 $\cos \theta$ 的严格大于、小于号无法取到 0（因为 0 会导致符号函数变 0 破坏组合和）。因此， $\theta$ 的四个象限分界点全部属于无意义空心点，最终的区间边界必须写成开区间（小括号）。若笔误写成闭区间，由于端点无法取到，在高考阅卷电脑端将被无情判定为 0 分。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中“平面向量的数量积”以及“向量综合应用”章节课后高阶思考题的变形升级。上海卷命题组通过引入大学《高等代数》中关于“正交矩阵与线性无关组的容量限制（维数约束）”，将其巧妙降维缝合为高一最基础的辅助角放缩，是一道极具“海派数学”注重思维质感与逻辑清洗风格的压轴巅峰客观题。
2. 结论推广（特征水平截段下的“单位向量三体”通用决策网络）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们可以将此类“含有垂直基底的三个单位向量模长范围”模型提炼为一个普适的通用级决策网络：

• 设平面内三个不同的单位向量满足一对垂直（ $\vec{a}\perp \vec{b}$ ），另两对夹角满足某种象限分布。
• 当核心相位落入不同的象限截段时，其和向量模长平方恒满足双曲特征： $3\pm 2\sqrt{2}\sin \varphi$。
• 若 动向量 $\vec{c}$ 严格落在第四象限（本题模型） $⟹$ 正弦相位在 $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ 摆动，最终模长范围死锁在： $\left(\sqrt{3-2},\sqrt{3+2}\right)⟹\left(1,\sqrt{5}\right)$ 若 动向量 $\vec{c}$ 被隔离在第一象限（双锐角模型） $⟹$ 正弦相位在 $\left(\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}\right)$ 摆动，取值可激活最高波峰 1，其最终范围将发生漂移。将这一套“单位向量三体决策网”收录到文献库中，能让您在面对后续任何变异的“求平面三向量模长范围”等压轴难题时，拥有瞬间看穿值域归宿的宏观上帝视角。

3. 方法推广（从平面向量到复数模长的无缝跨界迁移）： 本题所展示的抓住互相垂直的因式建立标准正交系、对动点进行三角换元（参数化）的思想，是攻克整张卷客观题中后段的铁甲。未来当题目从“向量数量积”变异为数系扩充板块中的“求复数复平面动点模长最值（如 $|z_1+z_2+z_3|$ 满足特定欧拉恒等式约束）”时，其底层的代数重组技术——“将复数转化为向量，利用 $\cos \theta +\text{i}\sin \theta$ 进行单变量三角配方消元”，其操作本质完全相通。内化这一套坐标化简流，是确保考生客观题前 12 题达成“零失误、拿满分”的终极底层技术铠甲。

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

专题合集 (Series)

📂 【管理档案】

索引与状态

• 工序状态：
• 资产预留：