20 解-椭圆综合

本题导读

本题是 2025 年上海卷的数学压轴大题. 综合考查了椭圆的标准方程、离心率计算、向量共线的坐标化处理以及直线与椭圆相交形成的角关系. 第三问要求通过向量数量积判定钝角范围，对代数运算能力和几何转化思维有极高要求.

📌 【题干】

Question

已知椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{5}=1$ ($a>\sqrt{5}$)，$M(0,m)$ ($m>0$)，$A$ 是 $\Gamma$ 的右顶点.

（1）若 $\Gamma$ 的焦点是 $(2,0)$，求离心率 $e$；

（2）若 $a=4$，且 $\Gamma$ 上存在一点 $P$，满足 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}$，求 $m$；

（3）若 $AM$ 中垂线 $l$ 的斜率为 2，$l$ 与 $\Gamma$ 交于 $C,D$ 两点，$\angle CMD$ 为钝角，求 $a$ 的取值范围.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用焦距 $c=2$ 和 $b^2=5$，根据椭圆关系 $a^2=b^2+c^2$ 求出 $a$，进而计算 $e=c/a$.
2. 第二问：将向量关系 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}$ 坐标化。设 $P(x,y)$，用 $m$ 表示出 $x,y$ 后代入椭圆方程求解.
3. 第三问（核心难点）：

• 几何关联：由中垂线 $l$ 的斜率为 2，推导出直线 $AM$ 的斜率为 $-1/2$，从而建立 $a=2m$ 的比例关系.
• 联立方程：写出直线 $l$ 的方程并与椭圆方程联立，应用韦达定理.
• 钝角判定：$\angle CMD$ 为钝角等价于 $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}<0$。通过坐标运算将该不等式转化为关于 $m$ 的代数式.

✍ 【详细解析】

（1）第(1)问详解

最优解法：

**（1）求离心率 $e$ **

• 由题意 $c=2$，$b^2=5$。

• 在椭圆中，$a^2=b^2+c^2=5+4=9⟹a=3$。

• 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$。

(2) 第(2)问详解

最优解法

（2）求参数 $m$

• 当 $a=4$ 时，右顶点 $A(4,0)$，已知 $M(0,m)$。

• 设 $P(x,y)$，由 $\overrightarrow{PA}=2\overrightarrow{MP}$ 得：

  $(4-x,-y)=2(x-0,y-m)=(2x,2y-2m)$。

• 对应分量相等：

  $\{\begin{array}{l}4-x=2x\\ -y=2y-2m\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ y=\frac{2m}{3}\end{array}$

• 因为 $P$ 在椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{5}=1$ 上：

  $\frac{(4/3{)}^2}{16}+\frac{(2m/3{)}^2}{5}=1⟹\frac{1}{9}+\frac{4m^2}{45}=1⟹\frac{4m^2}{45}=\frac{8}{9}$

• 解得 $m^2=10$，又 $m>0$，故 $m=\sqrt{10}$。

(3) 第(3)问详解

最优解法

（3）求 $a$ 的取值范围

• 直线方程推导：

  $A(a,0),M(0,m)$，斜率 $k_{AM}=-\frac{m}{a}$。

  中垂线 $l$ 斜率为 $2$，则 $k_l\cdot k_{AM}=-1⟹2\cdot (-\frac{m}{a})=-1⟹a=2m$。

  $AM$ 中点 $Q(\frac{a}{2},\frac{m}{2})=(m,\frac{m}{2})$。

  直线 $l:y-\frac{m}{2}=2(x-m)⟹y=2x-\frac{3}{2}m$。

• 联立方程：

  代入椭圆 $\frac{x^2}{4m^2}+\frac{y^2}{5}=1$：

  $5x^2+4m^2(2x-\frac{3}{2}m{)}^2=20m^2⟹(16m^2+5)x^2-24m^{3}x+9m^4-20m^2=0$。

  $\Delta =(-24m^3{)}^2-4(16m^2+5)(9m^4-20m^2)=1100m^4+400m^2>0$ 恒成立。

• 向量数量积判别：

  设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$。$\overrightarrow{MC}=(x_1,y_1-m)=(x_1,2x_1-\frac{5}{2}m)$。

  $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}=x_1{x}_2+(2x_1-\frac{5}{2}m)(2x_2-\frac{5}{2}m)=5x_1{x}_2-5m(x_1+x_2)+\frac{25}{4}{m}^2$。

  代入韦达定理：

  $5\cdot \frac{9m^4-20m^2}{16m^2+5}-5m\cdot \frac{24m^3}{16m^2+5}+\frac{25}{4}{m}^2<0$

  化简分子：$4(45m^4-100m^2-120m^4)+25m^2(16m^2+5)=100m^4-275m^2<0$。

• 求解范围：

  $100m^2<275⟹m^2<\frac{11}{4}⟹m<\frac{\sqrt{11}}{2}$。

  由 $a=2m$ 得 $a<\sqrt{11}$。结合 $a>\sqrt{5}$，得 $a\in (\sqrt{5},\sqrt{11})$。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等腰/直角几何特征向代数平方关系的转化、向量共线的点主元参数化表示、中垂线点斜式方程的整体消元、直线与曲线联立的韦达定理框架、钝角向向量数量积小于 0 的刚性跨界翻译。
2. 核心方法：数量积钝角拦截流（压轴大题不二法门）． 作为 18 分的客观题终极压轴，本题第三问如果盲目去套用初中的余弦定理 $\cos \angle CMD<0$，或者是高中的两直线夹角公式 $\tan \theta$，分子分母将会引入无法化解的非线性高负载斜率因式。破题的核心天眼是利用向量点积 $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}<0$ 作为硬核桥梁。通过直接将纵坐标用直线方程 $y=kx+b$ 替换，可以在第一步实现项数的完全对称化，使后续大数乘法直接坍塌化解为一元四次双平方差多项式（ $5a^4-55a^2<0$ ），方向极度纯粹。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（第二问漏掉常数 $m>0$ 的正负号选择）：在求解 $m^2=10$ 时，必须回看题干第一句： $m>0$。若在草稿纸上顺手写下 $m=\pm \sqrt{10}$，在解答题大题的标准阅卷中属于原则性漏洞，会被直接扣除 1 分的终极数值分。
• 避坑指南 2（第三问忽视三点共线退化状态的严密校验）：在利用 $\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MD}<0$ 判定钝角时，严格的数学闭环必须在前置步骤中声明并证明 $M$ 点不落在直线 $l$ 上（即排除三点共线使得夹角变为 $180^{\circ }$ 平角的情况）。虽然本题数据算出来 $a=0$ 与已知冲突自动排除，但若步骤中完全没有这层“共线防御意识”，在严苛的压轴大题评卷标准中会被酌情扣除 1 步骤分。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》中“直线与椭圆的位置关系”大题板块的经典模型。上海卷命题组去除了传统压轴题中晦涩的“非对称双斜率之和、动态外接圆恒过定点”等繁琐包装，回归考查学生在面对空间几何角度（钝角）约束时最纯粹的**“几何关系翻译、高负载代数式化简与区间多网合流”**的硬算力大盘，是一道含金量极高、极具选拔性的传世解析几何压轴神作。
2. 结论推广（中垂线特征交截下的“圆锥曲线特征决策网”）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们可以将本题中由“中垂线引发的斜率与参数关联”推广为一个普适的通用级几何网络：

• 设定点 $M(0,m)$，右顶点 $A(a,0)$。线段 $AM$ 的中垂线的斜率设为定值 $K_0$.
• 则根据垂直正交的斜率负倒数律，参数 $m$ 与长半轴 $a$ 之间恒存在着极为规整的线性对流锁死网络： -$m=\frac{1}{K_0}a$
• 本题中由于给定中垂线斜率 $K_0=2$，直接套入该高阶网络： $m=\frac{1}{2}a⟹a=2m$。这与我们【详细解析】第三问第一步辛辛苦苦通过中点投影推导出来的结论完全严丝合缝！收录这一“垂直平分线对流网络”到文献库中，能让你在考场上拥有降维审视压轴大盘的绝对底层底气。

3. 方法推广（从单点积不等式向全域变相参数的全景泛化）： 本题所展现的将空间几何位置关系（内角性质）通过坐标翻译为韦达定理项的代数框架，是圆锥曲线解答题的“定海神针”。未来当题目进行高阶变异，比如题干条件从“钝角约束”演变为“圆锥曲线弦长范围（ $|CD|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ ）”或者是“动弦对原点张角为直角（ $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OD}=0$ ）”等压轴大题时，其底层的代数重组技术——“将所有几何多项式化为 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$ 的函数，利用去分母和整式提取消除根式”，其操作本质完全合流。将这一套联立化简流内化为运算本能，是攻克整张高考卷后段 35 分解析几何与导数高分大盘最坚固的铠甲。

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

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