06 单-基本不等式

本题导读

本题考查正数范围内的基本不等式关系判定，重点在于区分“大于”与“大于等于”的临界情况.

📌 【题干】

Question

已知 $a>0,b>0$，则()

A. $a^2+b^2>2ab$	B. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{1}{ab}$	C. $a+b>\sqrt{ab}$	D. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\le \frac{2}{\sqrt{ab}}$

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 分析 A 选项：回想完全平方公式.当 $a=b$ 时，等号是否成立是判定的关键.
2. 分析 B、D 选项：这类涉及倒数的不等式通常随数值大小剧烈变化，不具有普适性.尝试选取极小或悬殊较大的正数作为反例.
3. 分析 C 选项：利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 进行放缩。由于 $a,b$ 为正数，$\sqrt{ab}$ 也为正数，对比系数即可得出结论.
4. 特殊值法应用：如果对公式推导不确定，可以通过代入 $a=1,b=1$ 或 $a=1/2,b=1/4$ 等简单数值快速筛选.

✅ 【答案】

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C

✍ 【详细解析】

Abstract

性质分析与直接运算法（推荐） 判定 A 选项： 根据实数性质，恒有 $(a-b{)}^2\ge 0\Rightarrow a^2+b^2\ge 2ab$. 当且仅当 $a=b$ 时，$a^2+b^2=2ab$. 选项 A 为严格大于号（$>$），当 $a=b$ 时不成立，故 A 错误. 判定 C 选项： 已知 $a>0,b>0$，根据基本不等式（均值不等式）： $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 由于 $a,b$ 均为正数，则 $\sqrt{ab}>0$.

显见 $2\sqrt{ab}>\sqrt{ab}$ 恒成立.

故 $a+b\ge 2\sqrt{ab}>\sqrt{ab}$ 必然成立. 故 C 正确。 判定 D 选项： 将 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 通分得 $\frac{a+b}{ab}$. D 选项等价于判定 $\frac{a+b}{ab}\le \frac{2\sqrt{ab}}{ab}\Rightarrow a+b\le 2\sqrt{ab}$. 这与基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 的方向相反（除非 $a=b$），故不恒成立. 故选C

其他精彩解法：

方法：特殊值验证法

1. 取 $a=1,b=1$：

• A 项：$1+1>2(1)(1)\Rightarrow 2>2$（假），排除 A.

• B、C、D 项均满足，需进一步验证.

2. 取 $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4}$：

• B 项：$\frac{1}{1/2}+\frac{1}{1/4}=6$； $\frac{1}{1/8}=8$。$6\ge 8$（假），排除 B.
• D 项：左边 $=6$；右边 $=\frac{2}{\sqrt{1/8}}=4\sqrt{2}\approx 5.6$。$6\le 5.6$（假），排除 D.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 基本不等式链：牢记 $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{1/a+1/b}$（正数前提下）.

• 柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)\ge (a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2$.

• 对勾函数：$f(x)=x+\frac{k}{x}$ 在 $(0,\sqrt{k}]$ 递减，在 $[\sqrt{k},+\infty )$ 递增，其最小值为 $2\sqrt{k}$.

2. 方法总结：选择题中“特殊值排除法”往往比代数证明更高效。优先代入 $a=b$ 排除一批，再代入 $a,b$ 差异较大的情况排除干扰项.

3. 避坑指南： “等号”是陷阱：在判定不等式是否“恒成立”时，绝大多数错误选项都错在忽略了“等号成立”的情况（如 A 选项）.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 对于正数 $a,b,c$，有 $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$
• 权方和不等式的简化版：$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge \frac{(x+y{)}^2}{a+b}$.

2. 方法的推广:

• 作差法：判断 $A\ge B$ 成立，可转化为证明 $A-B\ge 0$. 本题 A 选项作差后为 $(a-b{)}^2$，由于可能为 0，故不能保证严格大于.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式与柯西不等式

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