10 单-平面向量模的范围

本题导读

本题是平面向量的选择题压轴题。通过构造向量中点并结合直项三角形外接圆的几何性质，将向量模长的最值问题转化为圆外一点到圆上点距离的范围问题 .

📌 【题干】

Question

已知平面直角坐标系 $xOy$ 中，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AB}|=2$，设 $C(3,4)$，则 $|2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}|$ 的取值范围是()

A. $[6,14]$	B. $[6,12]$	C. $[8,14]$	D. $[8,12]$

🔍 【思路分析】

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1. 分析 $△OAB$ 的特征：根据勾股定理逆定理，$|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2=2+2=4=|\overrightarrow{AB}{|}^2$，判定 $△OAB$ 是以 $O$ 为直角顶点的等腰直角三角形.

2. 目标向量化简：利用向量减法 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$， 得：$2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CA}+(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA})=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$.

3. 利用中点公式：设 $AB$ 的中点为 $M$，则 $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$.

4.转化几何模型：在直角 $△OAB$ 中，斜边 $AB$ 上的中线 $OM=\frac{1}{2}AB=1$。因此，点 $M$ 的轨迹是以 $O$ 为圆心，1 为半径的圆.

5. 范围确定：目标转化为求解 $2|\overrightarrow{CM}|$ 的范围。利用圆外一点 $C$ 到圆上动点 $M$ 距离的最值公式：$OC-r\le CM\le OC+r$.

✅ 【答案】

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D

✍ 【详细解析】

Abstract

**中点几何法（推荐，最直观） 1. 判定 $△OAB$ 形状： 因为 $|\overrightarrow{OA}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{AB}|=2$， 满足 $|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=4=|\overrightarrow{AB}{|}^2$， 所以 $\angle AOB=90^{\circ }$.

2. 化简目标向量： $2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}$. 设 $AB$ 的中点为 $M$，则由向量中点性质得：$\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$.

3. 分析点 $M$ 的轨迹： 在 $Rt△OAB$ 中，中点 $M$ 到直角顶点 $O$ 的距离等于斜边的一半. 故 $|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|=1$. 说明点 $M$ 在以原点 $O$ 为圆心，半径 $r=1$ 的圆上运动.

4. 计算最值： 已知定点 $C(3,4)$，其到原点的距离 $|\overrightarrow{OC}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 点 $C$ 到圆 $O$ 上点 $M$ 距离的最大值和最小值分别为： $|\overrightarrow{CM}{|}_{max}=5+1=6$； $|\overrightarrow{CM}{|}_{min}=5-1=4$. 所以 $|2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}|=2|\overrightarrow{CM}|$ 的取值范围是 $[2\times 4,2\times 6]=[8,12]$.

其他精彩解法：

**向量分解与不等式法

1. 表达式拆解： $2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=2(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}-2\overrightarrow{OC}$.

2. 求和向量特征： 设 $\vec{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$. 由于 $\overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OB}$ 且模长均为 $\sqrt{2}$，根据平行四边形法则（此时为正方形），$|\vec{v}|=\sqrt{|\overrightarrow{OA}{|}^2+|\overrightarrow{OB}{|}^2}=2$.

3. 应用三角不等式： 目标模长为 $|\vec{v}-2\overrightarrow{OC}|$.

已知 $|2\overrightarrow{OC}|=2\times 5=10$，且 $|\vec{v}|=2$.

由向量模的不等式 $||\vec{a}|-|\vec{b}||\le |\vec{a}-\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$ 得： $10-2\le |\vec{v}-2\overrightarrow{OC}|\le 10+2⟹[8,12]$. 故选：D

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等腰直角三角形斜边中线的定长性质、向量减法分拆技术、中点向量求和公式（ $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CM}$ ）、定点到圆上动点最值模型。
2. 核心方法：隐形圆轨迹法与中点压缩法。平面向量最值题作为压轴题，如果强行采用建系设角（如令 $A(\sqrt{2}\cos \alpha ,\sqrt{2}\sin \alpha )$ 且 $B$ 与之垂直）进行暴力代数化简，会产生双角三角函数的交错高负载运算。破题的核心天眼是识别出中点 $M$ 的“隐形圆轨迹”，将复杂的双动点 $A,B$ 问题完美降维坍塌为单动点 $M$ 与定点 $C$ 的经典几何距离问题，方向极其纯粹。
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（拆解合并时符号看错）：在利用 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$ 替换时，注意终点减起点的顺序。部分同学由于粗心记反为 $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$，导致最后化简出 $|3\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}|$，使得几何中点法直接失效，陷入死胡同.

• 避坑指南 2（终极求值漏乘 2 倍系数）：算点圆距离时，很多同学解出 $[4,6]$ 后，因为思维处于亢奋状态，看到 A 选项或者其他带有 6 边界的选项便顺手勾选。落笔填涂前，务必重新回看最简式前方的 2 倍系数 约束。

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中“平面向量基本定理及坐标表示”章节后的高阶综合思考题。命题组通过剥离繁琐的代数外壳，将初中几何（斜边中线、点圆最值）与高一向量符号网完美缝合，是一道极具新高考“返璞归真、注重思维本质”特征的经典压轴客观题。
2. 结论推广（通用的中点组合模长取值范围网）： 为了让您的文献库知识图谱具备最高阶的直觉，我们可以将此类“定长基底三角形下的复合向量模长范围”模型提炼为一个普适的通用级决策网络：

• 设 $△OAB$ 是以 $O$ 为直角顶点的直角三角形，斜边 $|AB|=2R_0$，定点 $C$ 到原点的距离为 $d$.
• 目标式为 $|\lambda \overrightarrow{CA}+\mu \overrightarrow{CB}|$.
• 当满足特定的对称系数 $\lambda =\mu =1$ 时，式子等价于 $2|\overrightarrow{CM}|$。中点 $M$ 的轨迹半径为 $R_0$，最终范围恒为： $\left[2(d-R_0),2(d+R_0)\right]$
• 本题中由于系数非对称（ $2\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}$ ），但通过减法法则完美同构转化为 $\lambda =\mu =1$ 的标准中点网络。已知 $d=5,R_0=1$，代入该高阶网络：下界 $2\times (5-1)=8$，上界 $2\times (5+1)=12$。公式化的规律能让您在未来面对任何模拟卷上的变异向量压轴题时，具备免笔盲秒的绝对底气。

3. 方法推广（从隐形圆轨迹到阿波罗尼斯圆的全域通达）： 本题所展现的寻找动点定长轨迹（隐形圆）的思想，是攻克解析几何与向量复合题的定海神针。未来当题目从“中线定长圆”演变为更高级的“两向量模长成固定比例（如 $|\overrightarrow{PA}|=2|\overrightarrow{PB}|$ ）”的压轴最值问题时，其底层的核心重组技术——“利用几何约束锁死动点的隐形圆轨迹（阿波罗尼斯圆），再套用点圆/线圆最值律”，其技术本质完全相通。将这一套数形结合的流程内化为肌肉记忆，是攻克整张卷子客观题后段最坚固的铠甲.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.03 平面向量的数量积

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