17 解-立几综合

本题导读

本题是立体几何的典型解答题。第一问通过三角形中位线定理与底面平行关系的推导证明线面平行；第二问利用建立空间直角坐标系的方法，通过法向量精确计算直线与平面所成角的正弦值.

📌 【题干】

Question

如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，$△ACD$ 与 $△ABC$ 均为等腰直角三角形，$\angle ADC=90^{\circ }$，$\angle BAC=90^{\circ }$，$E$ 为 $BC$ 的中点.

（1）若 $F$ 为 $PD$ 的中点，$G$ 为 $PE$ 的中点，证明：$FG\parallel$ 平面 $PAB$；

（2）若 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=AC$，求直线 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值.

🔍 【思路分析】

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1. 第一问（平行证明）： 线线平行：在 $△PDE$ 中，利用三角形中位线定理得 $FG\parallel DE$. * 底面转化：在底面 $ABCD$ 中，利用等腰直角三角形的性质（如 $\angle DAC=45^{\circ }$ 和 $\angle ACB=45^{\circ }$）证明 $AD\parallel BC$

• • 判定平行：结合 $E$ 是中点证明 $AD=BE$，从而 $ABED$ 为平行四边形，得 $DE\parallel AB$。最终由 $FG\parallel AB$ 证得线面平行.

2. 第二问（线面角计算）： 建立坐标系：由于 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，

• 且 $\angle BAC=90^{\circ }$（即 $AB\perp AC$），以 $A$ 为原点，$AC,AB,AP$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系最为简洁. 向量计算：确定各点坐标后，计算平面 $PCD$ 的法向量 $\vec{n}$. 公式应用：利用 $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{AB},\vec{n}⟩|$ 求解.

✍ 【详细解析】

（1）第一问证明

最优解法：

（1）证明：$FG//$ 平面 $PAB$

1. 利用中位线定理：

   在 $△PDE$ 中，因为 $F$ 为 $PD$ 的中点，$G$ 为 $PE$ 的中点，

   所以 $FG//DE$ ①．

2. 分析底面几何关系：

   在等腰直角 $△ACD$ 中，$\angle DAC=45^{\circ }$．

   在等腰直角 $△ABC$ 中，$AB=AC$，且 $\angle BAC=90^{\circ }$，则 $\angle ACB=45^{\circ }$．

   由此得 $\angle DAC=\angle ACB$，故 $AD//BC$．

3. 长度与中点转化：

   设 $AD=a$，则 $BC=\sqrt{2}AC=\sqrt{2}(\sqrt{2}AD)=2a$．

   因为 $E$ 为 $BC$ 的中点，所以 $BE=\frac{1}{2}BC=a$．

   结合 $AD//BE$ 且 $AD=BE=a$，可得四边形 $ABED$ 为平行四边形．

   故 $DE//AB$ ②．

4. 判定线面平行：

   由 ①② 得 $FG//AB$．

   又因为 $FG\not\subset$ 平面 $PAB$，$AB\subset$ 平面 $PAB$，

   所以 $FG//$ 平面 $PAB$．

(2) 第(ii)问详解

最优解法

（2）求直线 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值

1. 建立空间直角坐标系：

   由 $PA\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AB\perp AC$，

   以 $A$ 为原点，$AC,AB,AP$ 所在直线分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系．

   设 $AD=CD=2$，则 $AC=AB=2\sqrt{2}$．由已知 $PA=AC=2\sqrt{2}$．

2. 确定各点坐标：

   $A(0,0,0)$，$B(0,2\sqrt{2},0)$，$C(2\sqrt{2},0,0)$，$P(0,0,2\sqrt{2})$．

   对于点 $D$，在 $xOy$ 平面内，$△ACD$ 为等腰直角三角形且 $AD\perp CD$，

   其坐标可确定为 $D(\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$．

3. 计算平面 $PCD$ 的法向量：

   $\overrightarrow{CP}=(-2\sqrt{2},0,2\sqrt{2})$，$\overrightarrow{CD}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},0)$．

   设平面 $PCD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则：

   $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CP}=-2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}z=0⟹x=z\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y=0⟹x=-y\end{array}$

   令 $x=1$，得 $\vec{n}=(1,-1,1)$．

4. 计算线面角的正弦值：

   直线 $AB$ 的方向向量为 $\overrightarrow{AB}=(0,2\sqrt{2},0)$．

   设直线 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成的角为 $\theta$．

   $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AB}||\vec{n}|}=\frac{|0\times 1+2\sqrt{2}\times (-1)+0\times 1|}{2\sqrt{2}\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2+1^2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

   ．

   结论：直线 $AB$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$．

其他精彩解法：

（1）取$AC$的中点为$H$，连接$DH$，$EH$，易证$D$，$H$，$E$三点共线，

在三角形$PDE$中，$F$为$PD$的中点，$G$为$PE$的中点，$FG$∥$DE$，

又$DE\perp AC$，$AB\perp AC$，$DE$∥$AB$，

由基本事实$4$可证$FG$∥AB$$\cdots①，

$FG\not\subset$平面PAB$$\cdots②，

$AB\subset$平面PAB$$\cdots③，由①②③可证，$FG$∥平面$PAB$.

（2）延长$BA$，$CD$，相交于点$M$，连接$AM$，

则$AM$与平面$PCD$所成的角就是$AB$与平面$PCD$所成的角.

$PA\perp$平面$ABCD$，$DC\subset$平面$ABCD$，

$PA\perp DC$，$AD\perp DC$，$PA\bigcap AD=A$，

所以$DC\perp$平面$PAD$，$PD\subset$平面$PAD$，

所以DC\bot$$PD，即$\Delta PDC$是直角三角形.不妨设$AD=DC=2$，

$AD\perp DC$，所以$PA=AC=2\sqrt{2}$，$PD=2\sqrt{3}$，

$AM=2\sqrt{2}$.设点$A$到平面$PCD$的距离为$h$，利用等体积法求$h$.

$V_{P-ADC}=V_{A-PDC}$，$\frac{1}{3}{S}_{PDC}\cdot h=\frac{1}{3}{S}_{ADC}\cdot PA$，$2\sqrt{3}\cdot h=4\sqrt{2}$，

$h=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，

设直线$AM$与平面$PCD$所成的角为$\theta$，

则$\sin \theta =\frac{h}{AM}=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

综上所述，直线$AB$与平面$PCD$所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 线线垂直证明线面垂直：在建立坐标系前，务必确认三轴两两垂直（如本题中 $PA\perp$ 底面，$AB\perp AC$）。

• 空间向量共线/共面判定：用于处理更复杂的动点平行或垂直问题.

2. 方法总结：

• 线面平行的“桥梁”：证明线面平行的核心是找到线线平行。中位线定理与特殊四边形（平行四边形）的判定是解题常用的两大支柱.
• 坐标系选点的精准性：第二问中，点 $D$ 坐标的确定是易错点。需利用 $△ACD$ 是等腰直角三角形且 $AD\perp CD$ 的性质，通过几何投影确定其在 $xOy$ 平面内的位置.
• 公式细节：线面角的正弦值等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦值的绝对值，即 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{v},\vec{n}⟩|$.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若直线 $AB$ 平行于平面内的一条直线 $l$，且 $l$ 与平面内的另一条直线相交，则线面角的正弦值可以通过点到平面的距离 $h$ 与斜线段长 $L$ 的比值 $\frac{h}{L}$ 验证.

2. 方法的推广:

• 等体积法：在不建立坐标系的情况下，求点到平面的距离 $h$（进而求线面角）可以通过 $V_{P-ACD}=V_{A-PCD}$ 转化求解.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 21.03 空间向量求角

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