18 解-概率综合

本题导读

本题是概率统计的应用建模题。考查了频率估计概率、独立事件的期望计算以及基于全概率公式背景下的参数估计与比较。题目设计贴近学习实际，侧重考查逻辑推理与数据处理能力.

📌 【题干】

Question

有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取 100 人，甲校有 80 人答对，乙校有 75 人答对，用频率估计概率.

（1）从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率；

（2）从甲、乙两校各随机抽取 1 人，设 $X$ 为做对的人数，求恰有 1 人做对的概率以及 $X$ 的数学期望；

（3）若甲校同学掌握这个知识点则有 100% 的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点则有 85% 的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个. 设甲校学生掌握该知识点的概率为 $p_1$，乙校学生掌握该知识点的概率为 $p_2$，试比较 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小（结论不要求证明）.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问（频率估计概率）：根据大数定律，当样本容量足够大时，可以用样本频率 $k/n$ 作为总体概率的估计值.

2. 第二问（分布列与期望）：

• 事件判定：甲、乙两校抽取学生做题是相互独立的.

• 恰有一人做对：包含“甲对乙错”和“甲错乙对”两个互斥事件.

• 期望计算：$X$ 符合离散型随机变量分布。利用期望的线性性质 $E(X)=E(X_{甲})+E(X_{乙})$ 可快速求解，也可列分布列求解.

3. 第三问（全概率模型）：

• 构建方程：做对题目的总概率 = 掌握且做对的概率 + 未掌握且猜对的概率.
• 计算比例：根据四个选项随机选，猜对概率为 $1/4=0.25$.
• 求解比较：分别列出关于 $p_1$ 和 $p_2$ 的一元一次方程，求解后进行数值比对.

✍ 【详细解析】

（1）第一问详解

最优解法：

**（1）求解甲校学生做对的概率 根据频率估计概率，从甲校随机抽取 1 人，做对题目的概率为： $P_A=\frac{80}{100}=0.8$.

(2) 第(2)问详解

最优解法

**（2）求解恰有 1 人做对的概率及 $X$ 的数学期望 1. 设事件： 设事件 $A$ 为“甲校抽取的一人做对”，$P(A)=0.8$，$P(\bar{A})=0.2$； 设事件 $B$ 为“乙校抽取的一人做对”，$P(B)=\frac{75}{100}=0.75$，$P(\bar{B})=0.25$.

2. 计算恰有一人做对的概率： $P(X=1)=P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)=0.8\times 0.25+0.2\times 0.75=0.2+0.15=0.35$.

3. 求 $X$ 的数学期望： 方法一：分布列法 $X$ 的可能取值为 0, 1, 2. $P(X=0)=0.2\times 0.25=0.05$； $P(X=1)=0.35$； $P(X=2)=0.8\times 0.75=0.60$. $X$ 的分布列为：

$X$	0	1	2
$P$	0.05	0.35	0.60
$E(X)=0\times 0.05+1\times 0.35+2\times 0.6=1.55$.

方法二：期望线性性质（推荐） $X$ 是两个独立伯努利试验成功次数之和. $E(X)=E(X_{甲})+E(X_{乙})=P(A)+P(B)=0.8+0.75=1.55$.

(3) 第(3)问详解

最优解法

**（3）比较 $p_1$ 与 $p_2$ 的大小 1. 建立全概率方程： 未掌握该知识点的同学随机选择，其做对的概率为 $P(\text{对}|\text{未掌握})=0.25$.

2. 求解 $p_1$： 对于甲校：$p_1\times 100\%+(1-p_1)\times 25\%=80\%$ $0.75p_1=0.55⟹p_1=\frac{11}{15}\approx 0.733$.

3. 求解 $p_2$： 对于乙校：$p_2\times 85\%+(1-p_2)\times 25\%=75\%$ $0.60p_2=0.50⟹p_2=\frac{5}{6}\approx 0.833$.

4. 判定结论： 由于 $0.833>0.733$，故 $p_2>p_1$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 相关知识点:

• 伯努利试验：单次成功的概率为 $p$，重复 $n$ 次成功次数的均值为 $np$.
• 大数定律：样本频率在样本量无限增大时趋近于总体概率.

2.方法总结

• 期望的拆分思想：在求多个独立事件成功次数的期望时，直接求和各事件的概率（$E=\sum p_i$）比列分布列要快得多.
• 全概率公式应用：第三问考查了全概率公式的逆向应用。关键是将“观测答对率”拆解为“真会而对”和“不会而猜对”两部分.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 考试信度模型：若题目选项增加（如 5 选 1），则猜对概率下降，计算出的掌握概率 $p$ 将更接近观测答对率.

2. 方法的推广:

• 贝叶斯公式：可以进一步求“已知某人答对，他真实掌握该知识点的概率”，即 $P(\text{掌握}|\text{对})=\frac{P(\text{掌握})P(\text{对}|\text{掌握})}{P(\text{对})}$.

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.02全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

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