13 填-二项分布

本题导读

本题考查条件概率的应用及二项分布的期望计算。通过实际跑圈场景，要求考生先利用条件概率求出单周达标的概率，再识别出多周达标次数服从二项分布，是天津卷概率板块的中等难度基础题.

📌 【题干】

Question

小桐操场跑圈，一周跑 2 次，一次跑 5 圈或 6 圈。第一次跑 5 圈或 6 圈的概率均为 0.5。若第一次跑 5 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.4，6 圈的概率为 0.6；若第一次跑 6 圈，则第二次跑 5 圈的概率为 0.6，6 圈的概率为 0.4。小桐一周跑 11 圈的概率为 ______ ；若一周至少跑 11 圈为运动达标，则连续跑 4 周，记合格周数为 $X$，则期望 $E(X)=$ ______ .

🔍 【思路分析】

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1. 第一空：计算恰好跑 11 圈的概率 $P(11)$

• 跑 11 圈的情况有两种：(第一次 5 圈，第二次 6 圈) 或 (第一次 6 圈，第二次 5 圈).
• 利用条件概率公式 $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)$ 分别计算概率并求和.

2. 第二空：计算达标周数的期望 $E(X)$

• 求单周达标概率 $p$：至少 11 圈包括跑 11 圈和跑 12 圈的情况.
• 识别分布模型：由于每周达标与否是相互独立的，且单周达标概率固定，合格周数 $X$ 服从二项分布 $B(n,p)$.
• 利用期望公式：$E(X)=np$.

✅ 【答案】

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0.6；3.2.

✍ 【详细解析】

Abstract

1.求跑 11 圈的概率 $P(11)$ 设 $A_i$ 表示第一次跑 $i$ 圈，$B_j$ 表示第二次跑 $j$ 圈 ($i,j\in \{5,6\}$). 一周跑 11 圈的事件为 $(A_5\cap B_6)\cup (A_6\cap B_5)$. $P(A_5\cap B_6)=P(A_5)\cdot P(B_6|A_5)=0.5\times 0.6=0.3$. $P(A_6\cap B_5)=P(A_6)\cdot P(B_5|A_6)=0.5\times 0.6=0.3$. 所以，$P(11)=0.3+0.3=0.6$.

2.求一周达标（至少 11 圈）的概率 $p$ 一周跑的总圈数可能为 10, 11, 12. 跑 12 圈的情况：只有 (第一次 6 圈，第二次 6 圈). $P(12)=P(A_6)\cdot P(B_6|A_6)=0.5\times 0.4=0.2$. 达标概率 $p$： $p=P(11)+P(12)=0.6+0.2=0.8$. (或对立事件法：$p=1-P(10)=1-0.5\times 0.4=0.8$).

3.求期望 $E(X)$

连续跑 4 周，每周达标概率为 $0.8$，且各周之间相互独立. 故 $X\sim B(4,0.8)$. 根据二项分布期望公式： $E(X)=n\cdot p=4\times 0.8=3.2$.

故填：0.6；3.2.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳： -互斥事件：跑 11 圈与跑 12 圈是互斥的，概率直接相加.

• 独立性：每周之间的达标概率互不影响，是应用二项分布的前提.

2. 方法总结：

• 条件概率的识别：题目中“若第一次跑 5 圈，则第二次…”描述的是典型的条件概率。计算联合概率时必须遵循乘法公式.
• 二项分布的判定：在 $n$ 次独立重复试验中，成功的次数服从二项分布。本题中“连续跑 4 周”即为 $n=4$ 的独立重复试验.
• 计算技巧：在求“至少”概率时，观察对立事件（本题中为跑 10 圈）是否更容易计算，可以作为校验结果的有效手段.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若题目改为求 $X$ 的方差，则 $D(X)=np(1-p)=4\times 0.8\times 0.2=0.64$.

2. 方法的推广:

• 全概率公式：若第二次跑 6 圈的概率受第一次影响，求第二次跑 6 圈的概率 $P(B_6)=P(A_5)P(B_6|A_5)+P(A_6)P(B_6|A_6)$.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 23.01 条件概率与乘法公式

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