03.01 不等式解法体系

🟦 不等式解法体系 (Solving Inequalities)

知识核心

不等式解法的本质是**“降次”与“等价转化”**。通过数形结合（函数图象）和穿针引线法，将高次、分式、无理不等式最终转化为一元一次或一元二次不等式求解。

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一、 一元二次不等式

1. 核心解法步骤 (以 $a>0$ 为前提)

1. 标准化：整理为 $a{x}^2+bx+c>0$ 或 $<0$ 形式，确保二次项系数 $a$ 为正。
2. 定根：求对应方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 的判别式 $\Delta$ 及根。
3. 绘图：参考二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$ 图象，确定解集区间。

2. “三个二次”的等价关系

核心结论

函数零点 = 方程的根 = 不等式解集的端点值。 若已知解集端点为 $x_1,x_2$，则它们必是对应方程的两个实根。

3. 恒成立问题常用结论

目标命题	解集为 $\mathbb{R}$ 的条件	解集为 $\varnothing$ 的条件
$a{x}^2+bx+c>0$	$\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}$	$\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}$
$a{x}^2+bx+c<0$	$\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}$	$\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}$

闭区间恒成立技巧：

• 若 $a{x}^2+bx+c<0$ ($a>0$) 在 $[m,n]$ 上恒成立 $⟺\{\begin{array}{l}f(m)<0\\ f(n)<0\end{array}$
• 若 $a{x}^2+bx+c>0$ ($a<0$) 在 $[m,n]$ 上恒成立 $⟺\{\begin{array}{l}f(m)>0\\ f(n)>0\end{array}$

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二、 高次不等式 (穿针引线法)

1. 使用要点

• 规范化：保证每个因式中 $x$ 的系数均为正。
• 自右向左：从数轴右侧上方画起。
• 奇穿偶切：
  • 奇次项：图象穿过数轴。
  • 偶次项：图象与数轴相切（不穿过）。

2. 典型范例

• $(x+1)(x-2)(x-3)(x-4)\ge 0\Rightarrow$ 解集：$\{x\mid x\ge 4\text{ 或 }2\le x\le 3\text{ 或 }x\le -1\}$
• $(x+1)(x-2{)}^2(x-3)(x-4{)}^3\le 0\Rightarrow$ 解集：$\{x\mid x\le -1\text{ 或 }x=2\text{ 或 }3\le x\le 4\}$

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三、 分式不等式

1. 等价转化原则 (转化成整式不等式组)

由于 $\frac{a}{b}$ 与 $ab$ 的符号性质完全一致：

• 大于零：$\frac{f(x)}{g(x)}>0⟺f(x)g(x)>0$
• 小于零：$\frac{f(x)}{g(x)}<0⟺f(x)g(x)<0$
• 带等号时：$\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0⟺\{\begin{array}{l}f(x)g(x)\ge 0\\ g(x)\ne 0\end{array}$ （分母永远不为零）

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四、 无理不等式

1. 转化逻辑 (去根号)

遵循“定义域优先，两边平方”的原则，从“小”的一边分析：

1. 类型 A：$\sqrt{f(x)}>g(x)$ $⟺\{\begin{array}{l}f(x)>0\\ g(x)\ge 0\\ f(x)>g(x{)}^2\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)<0\end{array}$
2. 类型 B：$\sqrt{f(x)}<g(x)$ $⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)>0\\ f(x)<g(x{)}^2\end{array}$
3. 类型 C：$\sqrt{f(x)}>\sqrt{g(x)}$ $⟺\{\begin{array}{l}f(x)\ge 0\\ g(x)\ge 0\\ f(x)>g(x)\end{array}$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

分式不等式必扣分项

处理 $\frac{f(x)}{g(x)}\ge 0$ 时，很多同学会漏掉 $g(x)\ne 0$。转化后一定要检查分母端点是否被错误地包含在解集中。

高次不等式的系数陷阱

如果出现 $(2-x)(x+1)>0$，必须先化为 $(x-2)(x+1)<0$ 再使用穿针引线法，否则“从右上方起笔”的规则会失效。

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