23.05 正态分布

🟦 正态分布性质与 $3\sigma$ 原则专题

核心心法

“均值定位置，方差定形状，对称求概率”。正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的灵魂在于其对称轴 $x=\mu$。无论曲线如何“矮胖”或“瘦高”，其总面积恒为 1。掌握标准正态化公式 $\eta =\frac{\xi -\mu }{\sigma }$，是将一般正态分布转化为可查表的标准正态分布 $N(0,1)$ 的万能钥匙。

1. 正态分布的概念 若连续型随机变量 $\xi$ 的概率密度函数为： $f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},x\in (-\infty ,+\infty )$ 其中 $\sigma ,\mu$ 为常数，且 $\sigma >0$，则称 $x$ 服从正态分布，简记为 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$f(x)$ 的图象称为正态曲线。

2. 正态分布的期望与方差 若 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则： $E(\xi )=\mu ,D(\xi )={\sigma }^2$

3. 正态曲线的性质

① 曲线在 $x$ 轴的上方，与 $x$ 轴不相交；

② 曲线关于直线 $x=\mu$ 对称；

③ 曲线在 $x=\mu$ 时达到峰值 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$；

④ 曲线与 $x$ 轴之间的面积为 $1$；

⑤ 当 $x<\mu$ 时，曲线上升；当 $x>\mu$ 时，曲线下降。并且当曲线向左右两边无限延伸时，以 $x$ 轴为渐近线，向它无限靠近；

⑥ 曲线的形状由 $\sigma$ 确定： - $\sigma$ 越大，峰值 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$ 越小，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； - $\sigma$ 越小，峰值 $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}$ 越大，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

4. 正态分布的概率含义 若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则： - $X$ 取值不超过 $x$ 的概率 $P(X\le x)$ 为曲线下 $(-\infty ,x]$ 区域的面积； - $P(a\le X\le b)$ 为曲线下 $[a,b]$ 区域的面积。

5. 3σ原则 假设 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，对于给定的 $k\in N^{\ast }$，$P(\mu -k\sigma <x\le \mu +k\sigma )$ 是一个只与 $k$ 有关的定值。

特别地： \begin{align*} P(\mu - \sigma < x \leq \mu + \sigma) &= 0.6827 \\ P(\mu - 2\sigma < x \leq \mu + 2\sigma) &= 0.9545 \\ P(\mu - 3\sigma < x \leq \mu + 3\sigma) &= 0.9973 \end{align*} 在实际应用中，通常认为服从于正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的随机变量只取 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之间的值，并简称之为 3σ 原则。 -

6. 标准正态分布

① 在标准正态分布表中，相应于 $x_0$ 的值 $\Phi (x_0)$ 是指总体取值小于 $x_0$ 的概率，即 $\Phi (x_0)=P(x<x_0)$。 - $x_0\ge 0$ 时，$\Phi (x_0)$ 的值可在标准正态分布表中查到； - $x_0<0$ 时，可利用其图象的对称性获得 $\Phi (x_0)=1-\Phi (-x_0)$ 来求出。 区间概率计算： $P(x_1<\xi <x_2)=P(\xi <x_2)-P(\xi <x_1)=\Phi (x_2)-\Phi (x_1)$

② $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 与 $N(0,1)$ 的关系：

(i) 若 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $\eta =\frac{\xi -\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$，有 $P(\xi <x_0)=F(x_0)=\Phi \left(\frac{x_0-\mu }{\sigma }\right)$；

(ii) 若 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(x_1<x<x_2)=\Phi \left(\frac{x_2-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{x_1-\mu }{\sigma }\right)$。

⚠️ 考场避坑与做题技巧

利用对称性解题的“黄金法则”

在填空选择题中，若已知 $P(X<a)=p$，求 $P(X>2\mu -a)$ 或类似区间，务必画出草图。利用 $P(X<\mu )=0.5$ 以及关于 $\mu$ 对称的等面积特性，可以快速得出结论。

参数是 $\sigma$ 还是 ${\sigma }^2$？

题目给出 $X\sim N(1,4)$ 时，意味着 $\mu =1,\sigma =2$。计算 $3\sigma$ 区域时一定要先开方，很多同学会直接用 4 进行计算，导致结果偏差巨大。

“小概率事件”的判定

根据 $3\sigma$ 原则，数值落在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的概率仅为 $0.0027$。在质量检测等实际问题中，如果出现此类数值，通常认为发生了异常，即“小概率事件在一次实验中发生了”，从而判定生产过程失控。