16 解-解三角形综合

本题导读

本题是解三角形的综合解答题，考查正弦定理与余弦定理的交替使用，以及二倍角公式与和角公式的综合运算.

📌 【题干】

Question

在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$。已知 $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$，$c-2b=1$，$a=\sqrt{7}$.

（Ⅰ）求 $A$ 的值；

（Ⅱ）求 $c$；

（Ⅲ）求 $\sin (A+2B)$ 的值.

🔍 【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用正弦定理实现“边化角”，将 $a,b$ 转化为 $\sin A,\sin B$，进而求出 $\tan A$.
2. 第二问：利用余弦定理。由于已知 $a$ 的值、$\cos A$ 的值以及 $b,c$ 之间的线性关系，联立方程组求解 $c$.
3. 第三问：先由正弦定理求出 $\sin B$，再利用同角三角函数关系求出 $\cos B$，进而利用二倍角公式求出 $\sin 2B$ 和 $\cos 2B$，最后利用两角和的正弦公式展开计算.

✍ 【详细解析】

（Ⅰ）第一问详解

最优解法：

（Ⅰ）求 $A$ 的值 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，可得 $a\sin B=b\sin A$. 已知条件为 $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$， 代入得 $b\sin A=\sqrt{3}b\cos A$. 由于 $b$ 是 $△ABC$ 的边长，故 $b\ne 0$， 所以 $\sin A=\sqrt{3}\cos A$. 显然 $\cos A\ne 0$（若 $\cos A=0$，则 $\sin A=0$，与 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 矛盾）， 得 $\tan A=\sqrt{3}$, 因为 $0<A<\pi$，所以 $A=\frac{\pi }{3}$.

(Ⅱ) 第(Ⅱ)问详解

最优解法

（Ⅱ）求 $c$ 由余弦定理得：$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. 已知 $a=\sqrt{7}$，$A=\frac{\pi }{3}$，$c-2b=1⟹b=\frac{c-1}{2}$. 代入余弦定理公式： $7={\left(\frac{c-1}{2}\right)}^2+c^2-2\cdot \frac{c-1}{2}\cdot c\cdot \cos \frac{\pi }{3}$ $7=\frac{c^2-2c+1}{4}+c^2-\frac{c^2-c}{2}$ 方程两边同乘以 4： $28=(c^2-2c+1)+4c^2-2(c^2-c)$ $28=c^2-2c+1+4c^2-2c^2+2c$ $28=3c^2+1⟹3c^2=27⟹c^2=9$. 因为 $c>0$，所以 $c=3$.

(Ⅲ) 第(Ⅲ)问详解

最优解法

（Ⅲ）求 $\sin (A+2B)$ 的值 由（Ⅱ）知 $c=3$，则 $b=\frac{3-1}{2}=1$. 在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$： $\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{1\cdot \sin \frac{\pi }{3}}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$. 因为 $b<a$，所以 $B$ 为锐角， 则 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-\frac{3}{28}}=\sqrt{\frac{25}{28}}=\frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}$. 计算二倍角： $\sin 2B=2\sin B\cos B=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}\cdot \frac{5}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$. $\cos 2B=1-2{\sin }^{2}B=1-2\cdot \frac{3}{28}=\frac{11}{14}$. 由和角公式： $\sin (A+2B)=\sin A\cos 2B+\cos A\sin 2B$ $\sin (A+2B)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{11}{14}+\frac{1}{2}\cdot \frac{5\sqrt{3}}{14}=\frac{11\sqrt{3}+5\sqrt{3}}{28}=\frac{16\sqrt{3}}{28}$. 最后化简得：$\sin (A+2B)=\frac{4\sqrt{3}}{7}$.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 考点归纳：

• 三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$.

• 三角形内角和性质：$A+B+C=\pi$.

2. 方法总结：

• 解三角形的切入点：遇到“边 $\times$ 角”的等式，第一反应通常是利用正弦定理将边化角.
• 计算陷阱：在（Ⅱ）问中联立方程时，代入 $b=\frac{c-1}{2}$ 容易出现分数运算错误，应细心展开并利用去分母法简化.
• 恒等变换的方向：第三问若直接拆开 $\sin (A+2B)$ 发现需要 $2B$ 的信息，则应根据已知的边长比例先求出角 $B$ 的基本三角函数值，再进行倍角转.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 结论的推广:

• 若题目要求 $\cos (A+2B)$，可直接利用 $\cos (A+2B)=\cos A\cos 2B-\sin A\sin 2B$ 进行计算.

1. 方法的推广:

• 射影定理应用：在已知多边关系时，$a=b\cos C+c\cos B$ 也是解三角形的一个有效辅助工具.

🔗 【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

专题合集 (Series)

📂 【管理档案】

索引与状态

• 工序状态：
• 资产预留：