11.02 余弦定理

🟦 余弦定理 (The Law of Cosines)

核心心法

“余弦分式，边平方”。余弦定理是勾股定理在一般三角形中的推广。它建立了三角形三边与其中一个角余弦值之间的代数联系。它是处理“两边及夹角”或“三边”问题的终极武器，在求边长、判定角度性质以及实现“角化边”时具有不可替代的作用。

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1. 余弦定理核心公式（求边长或建立方程）

在 $△ABC$ 中，已知边长为 $a,b,c$，对应的角为 $A,B,C$：

• ① $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$
• ② $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$
• ③ $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$

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2. 余弦定理变形公式（求角、或“化角为边”）

通过公式变形，可以直接求出已知三边时角的余弦值：

• ④ $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
• ⑤ $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
• ⑥ $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

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3. 余弦定理的主要应用场景

1. 求边：已知两边及其夹角，求第三边。
2. 求角：已知三边，求三角形的三个内角。
3. 建立方程：在涉及边长的几何题目中，利用余弦定理构造关于边长的二次方程。
4. 化角为边：在复杂的边角混合式中，利用变形公式将角的余弦值替换为边的代数式。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

三角形形状的快速判定

利用余弦定理的分式形式，可以快速判定角的性质：

• 若 $b^2+c^2-a^2>0\Rightarrow \cos A>0\Rightarrow A$ 为锐角。
• 若 $b^2+c^2-a^2=0\Rightarrow \cos A=0\Rightarrow A$ 为直角（勾股定理）。
• 若 $b^2+c^2-a^2<0\Rightarrow \cos A<0\Rightarrow A$ 为钝角。

“两边及一角的对边”陷阱

当已知 $a,b$ 和角 $A$ 时，若使用 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 求 $c$，会得到一个关于 $c$ 的一元二次方程。此时必须注意方程根的判别式及实际意义，以确定 $c$ 是否有解或有几解。

计算量的控制

余弦定理涉及平方运算，计算量通常比正弦定理大。如果题目给出的是齐次分式且包含正弦值，优先考虑正弦定理；只有在涉及三边长度或余弦项时，才首选余弦定理。

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