05 单-余弦定理

本题导读

描述: 本题考查余弦定理的应用。通过已知三角形的三边长度，利用余弦定理求出指定角的余弦值，进而确定角的大小.

📌 【题干】

Question

在 $△ABC$ 中，$BC=2$，$AC=1+\sqrt{3}$， $AB=\sqrt{6}$，则 $A=()$

A. $45^{\circ }$	B. $60^{\circ }$	C. $120^{\circ }$	D. $135^{\circ }$

🔍 【思路分析】

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1. 识别已知条件：已知三角形三边长，设 $a=BC=2$，$b=AC=1+\sqrt{3}$，$c=AB=\sqrt{6}$.
2. 选择工具：求角 $A$，优先使用余弦定理公式 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
3. 计算求值：代入数值进行平方和根式运算，化简得出 $\cos A$.
4. 确定角度：根据 $\cos A$ 的值及三角形内角范围确定 $A$.

✅ 【答案】

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A

✍ 【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，已知 $a=2,b=1+\sqrt{3},c=\sqrt{6}$.

根据余弦定理： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

将边长代入公式： $\cos A=\frac{(1+\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{6}{)}^2-2^2}{2(1+\sqrt{3})\sqrt{6}}$

展开平方项： $\cos A=\frac{(1+3+2\sqrt{3})+6-4}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$

$\cos A=\frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}+2\sqrt{18}}$

$\cos A=\frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}+6\sqrt{2}}$ 分子分母提取公因式： $\cos A=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 因为 $0<A<180^{\circ }$，且 $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $A=45^{\circ }$. 故选：A.

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理的代数变形、含有根式的分式化简技巧、特殊角的三角函数值映射.
2. 核心方法：直接公式法（代数同构约分）．本题在计算出 $\frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$ 后，很多同学喜欢盲目将分母展开为 $2\sqrt{6}+2\sqrt{18}$，从而导致后续的分母有理化计算极其繁琐。记住“解三角形化简时，分母的因式能保留就保留，优先尝试在分子提取根式因数进行同构整体约分”，这是提升计算速度与正确率的高频利器.
3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（大边对大角估算拦截）：本题可以通过简单的数值估算直接砍掉 C 和 D。因为 $\sqrt{3}\approx 1.732⟹b=2.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449⟹c=2.449$， $a=2$。显然 $b>c>a$。根据三角形“大边对大角”的几何定理，内角满足 $B>C>A$。因为 $A$ 是三角形中最小的角，所以它绝不可能是 $120^{\circ }$ 或 $135^{\circ }$ 这样的钝角，直接排除 C, D.
• 避坑指南 2（特殊角对应错误）：解出 $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 后，切勿因为思维疲劳将对应的正弦与余弦混淆，误选成 $60^{\circ }$（ $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ ）.

📖 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教 A 版必修第二册第六章《平面向量及其应用》中“余弦定理”的课后基础典型习题。属于新高考卷传统解三角形大题第一问“退化”到选择题第 5 题的经典重现.
2. 结论推广（极其重要的“ $45^{\circ }-60^{\circ }-75^{\circ }$ ”特殊三角形网）： 在高考解三角形大题或小题中，有一类边长比例出现频率极高，甚至可以说是命题人的“御用多项式模型”——即三个内角分别为 $45^{\circ },60^{\circ },75^{\circ }$ 的三角形.

• 设 $A=45^{\circ },B=60^{\circ }$，则 $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$.
• 根据正弦定理，三边之比满足： $a:b:c=\sin 45^{\circ }:\sin 60^{\circ }:\sin 75^{\circ }$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
• 将该比例同时乘以 $2\sqrt{2}$ 消除分母，可以得到一组成正比例的整式/根式精美边长： $a=2,b=\sqrt{6},c=1+\sqrt{3}$
• 仔细比对本题给出的数据： $BC=2,AB=\sqrt{6},AC=1+\sqrt{3}$，这完全就是这个经典模型的重现！在高级文献库中收录此特征后，考场上看到这组边长，直接就能秒判出三个角分别为 $45^{\circ },60^{\circ },75^{\circ }$，对应边长 $2$ 的对角 $A$ 必然就是最小的 $45^{\circ }$.

3. 方法推广（SSS 模型的通用大题检验）： 在后续解决涉及解答题大题中“求三角形面积（ $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ ）”或“求内切圆/外接球半径”等复合综合大题时，第一步往往都需要通过本题的余弦定理把某个角的余弦值啃下来。熟练掌握本题的完全平方根式展开与同构提取，是攻克整张卷子中、后段高分大题必须具备的刚性算力地基.

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• 11.02 余弦定理

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