07 单-直线和圆位置关系

本题导读

本题考查圆上点到直线距离的个数问题。核心是将“圆上点到直线的距离”转化为“圆心到直线的距离 $d$ 与半径 $r$ 的数量关系”，通过分析平行线与圆的交点个数来确定 $r$ 的范围.

快速索引： 数学 2025 点到直线的距离 3

📌 【题干】

Question

已知圆 $x^2+(y+2{)}^2=r^2$ ($r>0$) 上到直线 $y=\sqrt{3}x+2$ 的距离为 $1$ 的点有且仅有两个，则 $r$ 的取值范围是()

A. $(0,1)$	B. $(1,3)$	C. $(3,+\infty )$	D. $(0,+\infty )$

🔍 【思路分析】

Tip

1. 转化问题：在圆上到直线 $l$ 距离为 $1$ 的点，实际上是圆与两条平行于 $l$ 且距离为 $1$ 的直线（设为 $l_1,l_2$）的公共点.
2. 计算圆心距：利用点到直线距离公式，计算圆心 $C(0,-2)$ 到已知直线 $l:\sqrt{3}x-y+2=0$ 的距离 $d$.
3. 分析临界状态：

• 圆上到直线距离的最大值为 $d+r$，最小值为 $|d-r|$.
• 要使距离为 $1$ 的点只有 $2$ 个，结合 $d$ 的大小，说明圆只能与靠近圆心的一条平行线相交，而不能碰到另一条.

5. 确定范围：根据 $d-1<r<d+1$ 的几何意义建立不等式求解.

✅ 【答案】

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B

✍ 【详细解析】

Abstract

1. 计算圆心到直线的距离 $d$： 圆 $x^2+(y+2{)}^2=r^2$ 的圆心坐标为 $C(0,-2)$，半径为 $r$. 将直线方程化为一般式：$\sqrt{3}x-y+2=0$.

$d=\frac{|\sqrt{3}\times 0-(-2)+2|}{\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{2}=2$

2. 分析距离为 1 的点的分布： 到直线 $l$ 距离为 $1$ 的点轨迹是两条平行线 $l_1,l_2$.

圆心 $C$ 到这两条平行线的距离分别为：

$d_1=d-1=2-1=1$

$d_2=d+1=2+1=3$

3. 数形结合判定 $r$：

• 当 $r=1$ 时，圆与 $l_1$ 相切，只有 $1$ 个点满足条件.

• 当 $1<r<3$ 时，圆与 $l_1$ 相交（产生 $2$ 个点），且与 $l_2$ 不相交（$0$ 个点），

合计 $2$ 个点。符合题意.

• 当 $r=3$ 时，圆与 $l_1$ 相交（$2$ 个点），与 $l_2$ 相切（$1$ 个点），合计 $3$ 个点.

• 当 $r>3$ 时，圆与 $l_1,l_2$ 均相交，合计 $4$ 个点.

• 综上所述，$r$ 的取值范围是 $(1,3)$。

故选：B.

其他精彩解法一：

数形结合法（临界分析） 思路：到直线距离为 $1$ 的点位于与原直线平行的两条直线 $l_1,l_2$ 上。

1. 临界判定：
   • 当 $r=d-1=1$ 时，圆与较近平行线相切，仅有 $1$ 个点（图中 $A$ 点）。
   • 当 $r=d+1=3$ 时，圆与较远平行线相切，共有 $3$ 个点（图中 $B,C,D$ 点）。
2. 确定范围：要使点数恰为 $2$ 个，圆必须与较近线相交且与较远线不相交，即 $1<r<3$。

其他精彩解法二：

几何性质法 思路：圆上到直线距离的最大值为 $d+r$，最小值为 $|d-r|$。 满足条件的点有 $2$ 个，等价于距离 $1$ 介于圆心到直线的最小距离与最大距离之间，且排除掉与另一侧平行线相交的情况。

其他精彩解法三：

排除法 思路：利用极限思想与平行线特征快速定性排除。

1. 大半径分析：当 $r$ 足够大时（如 $r\to +\infty$），圆必然与两条距离为 $1$ 的平行线都相交，此时会有 $4$ 个符合条件的点，故排除 C, D。
2. 小半径分析：当 $r\to 0$ 时，圆极小，圆上所有点到直线的距离都接近圆心距离 $d=2$，显然没有距离为 $1$ 的点，故排除 A。
3. 结论：排除 A, C, D，直接选 B。

💡 【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系（通过 $d$ 与 $r$ 的大小关系判断）.
2. 核心方法：数形结合法与动态边界分析法。这类题目如果纯用代数方程去联立求解计算量极大，且极易漏掉多解情况。通过画出“动态变大的圆”与“静态的平行线”，把数量关系直观转化为几何交点问题，是破题的捷径.
3. 避坑指南：

• 易错点 1（漏掉内侧平行线）：部分同学容易只考虑外侧，误认为到直线距离为 $1$ 的点只能在圆的最外端，从而列出 $r=d+1=3$ 或 $r>3$，错选 C.
• 易错点 2（边界点开闭错判）：当 $r=1$ 或 $r=3$ 时，由于图形发生“相切”，交点个数会突变为 $1$ 或 $3$，不满足“有且仅有 2 个”的硬性要求，因此区间的两端必须是开区间.

🚀 【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考解析几何部分的常考经典题型。可溯源至人教 A 版选择性必修第一册《直线与圆的位置关系》的经典拓展习题。往年高考（如 2018 年全国卷、近年各省模拟卷）多次出现过“圆上到直线距离为定值的点有 1个/2个/3个/4个”的变体.
2. 结论推广（圆上点到直线距离的通用个数规律）： 设圆心到直线的距离为 $d$，半径为 $r$，求圆上到直线距离为 $h(h>0)$ 的点的个数 $N$：

• 若 $r<|d-h|$ 且 $r<d+h$ $⟹N=0$

• 若 $r=|d-h|$（此时 $d>h$） $⟹N=1$ （相切）

• 若 $|d-h|<r<d+h$ $⟹N=2$ （本题模型，圆只与其中一条平行线相交）

• 若 $r=d+h$ $⟹N=3$ （与一条相交，与另一条相切）

• 若 $r>d+h$ $⟹N=4$ （与两条平行线均相交） 记住这个数量链条，未来遇到同类题即可实现直接口算.

3. 方法推广：如果在后续的解析几何压轴题中，圆变成了椭圆或双曲线（例如：求椭圆上到直线距离为 1 的点的个数），其核心思想依然不变——依然是平移目标直线，求平行线与圆锥曲线的交点。此时可以通过将平行线方程与曲线方程联立，利用判别式 $\Delta$ 的正负来精准控制交点个数.

🔗 【关联脉络】

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知识锚点 :: 16.02 直线方程的形式与直线系|17.06 圆的切线与极点极线

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