17.06 圆的切线与极点极线

🟦 圆的切线与极点极线专题 (Tangents & Polars)

核心心法

“一等分代换，几何定长短”。圆的切线问题是解析几何的高频考点。对于“点在圆上”，利用平均值代换可瞬秒方程；对于“点在圆外”，d=r 是斜率判定的基石。而极点极线理论则统一了切线、切点弦与轨迹问题，是处理圆与直线综合问题的终极利器。

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一、 圆的切线方程 (Tangent Equations)

1. 点在圆上的切线 (切点已知)

利用“一等分代换”规则（即 $x^2\to x{x}_0,x\to \frac{x+x_0}{2}$）：

• 标准圆 $x^2+y^2=r^2$：$x{x}_0+y{y}_0=r^2$
• 平移圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$：$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$
• 一般圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$： $x{x}_0+y{y}_0+D\cdot \frac{x+x_0}{2}+E\cdot \frac{y+y_0}{2}+F=0$

2. 点在圆外的切线 (斜率未知)

过点 $(x_0,y_0)$ 向圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 作切线：

1. 设方程：$y-y_0=k(x-x_0)$。
2. 定参数：利用圆心到直线的距离等于半径 ($d=r$) 解出 $k$。
3. ⚠️ 避坑：若只解出一个 $k$，说明另一条切线斜率不存在，方程为 $x=x_0$。

3. 斜率已知的切线

• 对于圆 $x^2+y^2=r^2$：$y=kx\pm r\sqrt{k^2+1}$
• 对于圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$：$y-b=k(x-a)\pm r\sqrt{k^2+1}$

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二、 圆的极点极线方程 (Pole & Polar)

对于圆 $O:x^2+y^2=r^2$，极点 $P(x_0,y_0)$ 对应的极线 $l$ 统一方程为： $x_{0}x+y_{0}y=r^2$

极点 $P$ 的位置	极线 $l$ 的几何意义
在圆上	圆在点 $P$ 处的切线。
在圆外	点 $P$ 对应的切点弦 $AB$。
在圆内	过 $P$ 的弦两端点切线交点的轨迹。

🔍 极线方程的深度证明 (以圆外点为例)

• 法一：同一法 设切点为 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。由切线方程知 $x_0{x}_1+y_0{y}_1=r^2$ 且 $x_0{x}_2+y_0{y}_2=r^2$。这说明 $A,B$ 都在直线 $x_{0}x+y_{0}y=r^2$ 上。
• 法二：四点共圆 (几何法) $O,A,P,B$ 四点共圆且以 $OP$ 为直径。该圆方程与原圆方程相减即得公共弦（切点弦）方程：$x_{0}x+y_{0}y=r^2$。

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三、 切线长公式 (Tangent Length)

过圆外一点 $M(x_0,y_0)$ 向圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 作切线，切线长为： $|MP|=\sqrt{|MO{|}^2-r^2}=\sqrt{x_0^2+y_0^2+D{x}_0+E{y}_0+F}$

口诀：点代入，开根号

求切线长最快的方法就是将点 $(x_0,y_0)$ 直接代入圆的一般方程（保证 $x^2,y^2$ 系数为 1），然后对结果开算术平方根。

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

切线数量的判定

圆外一点总能引出 2 条切线。如果你的计算只得出一个斜率 $k$，请务必画图检查是否存在垂直于 $x$ 轴的切线。

切点弦的中点性质

极点 $P$、圆心 $O$ 与切点弦 $AB$ 的中点 $H$ 三点共线，且满足 $|OH|\cdot |OP|=r^2$。这一性质在处理弦长最值或动态极线问题时非常有用。

极线的对偶性

如果点 $P$ 在点 $Q$ 对应的极线上，那么点 $Q$ 也一定在点 $P$ 对应的极线上。利用这一性质可以快速转化复杂的交点问题。