2007-上海卷文-05 填-双曲线焦点抛物线

本题导读

本题考查双曲线的焦点，以及抛物线的标准方程。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 以双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 双曲线中 $a^2=4$，$b^2=5$，$c_0^2=a^2+b^2=9$，右焦点 $(3,0)$。
2. 抛物线顶点 $(0,0)$、焦点 $(3,0)$，开口向右，设 $y^2=2px$，则 $\frac{p}{2}=3$，$p=6$。
3. 写出 $y^2=12x$。

✅【答案】

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$y^2=12x$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的半实轴长为 $2$，半虚轴长为 $\sqrt{5}$，所以其焦半距满足 $c_0^2=2^2+(\sqrt{5}{)}^2=9$，右焦点为 $(3,0)$． 以双曲线的中心 $(0,0)$ 为顶点、以 $(3,0)$ 为焦点的抛物线满足 $p=3$（此时 $y^2=4px$ 的焦点恰为 $(p,0)$），故其标准方程为 $y^2=4px=12x.$ （易错点：$y^2=2px$ 与 $y^2=4px$ 两种标准形式中焦点的横坐标分别为 $\frac{p}{2}$ 与 $p$，代入时别混淆。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦点抛物线

核心方法：双曲线 c²=a²+b² 定焦点，再定抛物线参数

避坑指南：双曲线与椭圆的 c² 公式相反（加不是减）；抛物线 y²=2px 的焦点是 (p/2,0)，y²=4px 的焦点是 (p,0)，两种形式别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”抛物线的标准方程”

结论推广：焦点 (m,0)、顶点原点的抛物线为 y²=4mx

方法推广：用焦点坐标反推抛物线方程时，先确认开口方向，再由焦点横坐标定参数

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2010-安徽卷文-12 填-抛物线的焦点
• 2010-上海卷文-08 填-抛物线定义求轨迹
• 2010-四川卷文-03 单-抛物线焦准距