2010-上海卷文-08 填-抛物线定义求轨迹

本题导读

考查抛物线定义。$p=4$，轨迹 $y^2=8x$。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(文)） 动点 $P$ 到点 $F(2,0)$ 的距离与它到直线 $x+2=0$ 的距离相等，则点 $P$ 的轨迹方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 条件即 $|PF|$ 等于 $P$ 到准线 $x=-2$ 的距离。
2. 轨迹是以 $F(2,0)$ 为焦点、$x=-2$ 为准线的抛物线。
3. $\frac{p}{2}=2$，$2p=8$，方程 $y^2=8x$。

✅【答案】

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$y^2=8x$

✍【详细解析】

Abstract

由抛物线的定义，点 $P$ 的轨迹是以 $F(2,0)$ 为焦点、直线 $x=-2$ 为准线的抛物线。 $\frac{p}{2}=2\Rightarrow p=4,2p=8,$ 轨迹方程为 $y^2=8x.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义

核心方法：到焦点与准线距离相等，定 $p$ 写方程

避坑指南：焦点 $F(2,0)$、准线 $x=-2$，$\frac{p}{2}=2$ 故 $2p=8$；开口向右用 $y^2=2px$，不要写成 $x^2=8y$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的定义是求轨迹方程的捷径，避开两点距离公式硬算。

结论推广：焦点到准线的距离为 $p$，焦点坐标 $\left(\frac{p}{2},0\right)$。

方法推广：由焦点位置定开口方向，再选标准方程的四种形式之一。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2011-广东卷文-08 单-圆心轨迹抛物线
• 2011-陕西卷文-02 单-抛物线准线求方程
• 2009-湖南卷文-02 单-抛物线焦点