2007-上海卷文-08 填-工序统筹最值

本题导读

本题考查工序流程的最值，以及不等式求解。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 某工程由 $A$，$B$，$C$，$D$ 四道工序组成，完成它们需用时间依次为 $2$ 天，$5$ 天，$x$ 天，$4$ 天. 四道工序的先后顺序及相互关系是：$A$，$B$ 可以同时开工；$A$ 完成后，$C$ 可以开工；$B$、$C$ 完成后，$D$ 可以开工. 若该工程总时数为 $9$ 天，则完成工序 $C$ 需要的天数 $x$ 最大是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 按顺序梳理各工序的开工条件：$A$、$B$ 在时刻 $0$ 开工；$C$ 等 $A$ 完成（时刻 $2$）；$D$ 等 $B$、$C$ 都完成。
2. $D$ 的开工时刻是 $\max \{5,2+x\}$，工程完成时刻再加 $4$。
3. 由总时数 $9$ 列式解不等式。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

令 $A$、$B$ 同时在时刻 $0$ 开工，则工序 $A$ 在时刻 $2$ 完成，工序 $B$ 在时刻 $5$ 完成．工序 $C$ 需在 $A$ 完成后开工，因此最早在时刻 $2$ 开工，并在时刻 $2+x$ 完成．工序 $D$ 需在 $B$、$C$ 都完成后开工，所以工程完成时刻为 $\max \{5,2+x\}+4.$ 由总时数为 $9$ 天，得 $\max \{5,2+x\}=5$，从而 $2+x⩽5$，即 $x⩽3$．因而 $x$ 的最大值为 $3$． （本题的关键是把”某工序开工”翻译成”取其前序工序完成时刻的最大值”，统筹图的时间参数本质上就是逐段取 max。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：工序统筹最值

核心方法：把开工条件翻译成取 max

避坑指南：D 的开工时刻 = B、C 完成时刻的较大者 max{5,2+x}；工序约束翻译错，整个式子就错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统筹方法与不等式

结论推广：串联工序的完成时刻逐段取 max，本质是分段线性函数

方法推广：工程问题先画流程：每个节点写”最早开工时刻”，再列 max 方程或不等式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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