2010-山东卷文-10 单-归纳推理导数奇偶

本题导读

考查归纳与导数。$f(x)=x{e}^x$，$g(x)=e^x$；$f^{\prime }(x)=(x+1)e^x$，$g^{\prime }(x)=e^x$。归纳得 $f_{n+1}(x)=f_n^{\prime }(x)$ 中偶次项前符号与 $g_n(x)$ 相关，最终 $g^{\prime }(x)$ 的表达式关于 $x$ 为偶函数，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(文)） 观察 $(x^2{)}^{\prime }=2x$，$(x^4{)}^{\prime }=4x^3$，$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$，由归纳推理可得：若定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(-x)=f(x)$，记 $g(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，则 $g(-x)$ 等于()

A. $f(x)$　　　　　B. $-f(x)$　　　　　C. $g(x)$　　　　　D. $-g(x)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察 $x^2$、$x^4$、$\cos x$ 都是偶函数，它们的导函数 $2x$、$4x^3$、$-\sin x$ 都是奇函数。
2. 归纳：偶函数的导函数是奇函数。
3. $f(x)$ 为偶函数，故 $g(x)=f^{\prime }(x)$ 为奇函数，$g(-x)=-g(x)$。
4. 选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由所给三组例子：偶函数 $x^2$、$x^4$、$\cos x$ 的导函数分别是 $2x$、$4x^3$、$-\sin x$，它们都是奇函数. 归纳得出一般规律：偶函数的导函数是奇函数. 本题中 $f(-x)=f(x)$，即 $f(x)$ 是偶函数，其导函数 $g(x)=f^{\prime }(x)$ 是奇函数， 故 $g(-x)=-g(x).$ （也可直接求导验证：对 $f(-x)=f(x)$ 两边求导得 $-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$，即 $-g(-x)=g(x)$，$g(-x)=-g(x)$.） 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理与导函数奇偶性

核心方法：由 $x^2,x^4,\cos x$ 的导函数归纳”偶函数的导函数是奇函数”

避坑指南：也可对 $f(-x)=f(x)$ 两边求导：$-f^{\prime }(-x)=f^{\prime }(x)$，即 $-g(-x)=g(x)$，直接得 $g(-x)=-g(x)$，不用猜。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：归纳推理题给足例子，要能从特殊例子提炼一般规律。

结论推广：可导偶函数的导函数是奇函数，可导奇函数的导函数是偶函数，两条对应关系互为镜像。

方法推广：对恒等式 $f(-x)=\pm f(x)$ 两边求导是证明奇偶函数导数关系的最严格方式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2011-广东卷文-12 填-奇偶求值
• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2012-天津卷文-06 单-奇偶性与单调性