2007-上海卷理-06 填-三角函数周期性

本题导读

本题考查三角恒等变换与正弦型函数最小正周期的求解。通过两角和公式与二倍角公式将积式化为一阶单一名三角函数，进而读取周期。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 函数 $y=\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 的最小正周期 $T=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 诱导公式转化：利用 $\sin (x+\frac{\pi }{2})=\cos x$ 将异名异角转化为同名不同角。

2. 展开与降幂：将 $\sin (x+\frac{\pi }{3})$ 展开后同乘 $\cos x$，利用二倍角公式化简为 $A\sin (2x+\varphi )+C$ 的标准形式，通过公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求解周期。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式知 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$． 利用两角和的正弦公式展开原式前项： $y=\left(\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3}\right)\cos x=\left(\frac{1}{2}\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)\cos x$ 展开括号项合并： $y=\frac{1}{2}\sin x\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}{\cos }^{2}x$ 应用二倍角公式与降幂公式变形得： $y=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}\cos 2x+\frac{\sqrt{3}}{4}$ 利用辅助角公式逆变换归纳： $y=\frac{1}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{4}$ 该正弦型函数的角速度系数 $\omega =2$， 所以其最小正周期 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{2}=\pi$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两角和差公式，二倍角正弦公式，余弦降幂公式，正弦型函数的周期性。

2. 核心方法：三角函数化一“齐角齐名法”。

3. 避坑指南：容易把降幂公式 ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$ 中的常数项分母错漏，导致最后的常数项错误，但由于不影响周期项系数 $\omega$，此处需格外警惕若考查最值时的潜在丢分。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材三角恒等变换的综合练习，属于典型的通过公式变换将多元异名三角式化归为一元正弦型函数的标准大纲题型。

5. 结论推广：对于任何形如 $y=\sin (x+\alpha )\cos (x+\beta )$ 的二次三角函数，化简后其自变量的倍角系数 $\omega$ 恒为 2，故其最小正周期固定为 $\pi$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积