2014-大纲卷理-04 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的性质。通过向量垂直转化为数量积为零，建立关于向量模长与夹角的代数关系，求得目标向量的模。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 若向量 $\vec{a},\vec{b}$ 满足：$|\vec{a}|=1$，$(\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{a}$，$(2\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{b}$，则 $|\vec{b}|=$ ()

A. $2$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 转化垂直条件：根据两个非零向量垂直的充要条件 $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$，将题目中的两个垂直关系转化为数量积等式。

2. 列出方程组：

   • 由 $(\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{a}$，得出第一个关于 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的式子。

   • 由 $(2\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{b}$，得出第二个关于 $|\vec{b}{|}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的式子。

3. 联立求解：代入已知量 $|\vec{a}|=1$，求出 $|\vec{b}|$ 的值。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由第一个垂直条件求数量积

因为 $(\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{a}$，所以 $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=0$。

根据分配律展开得：${\vec{a}}^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=0$。

因为 $|\vec{a}|=1$，所以 ${\vec{a}}^2=1$。

则 $1+\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$。

第二步：由第二个垂直条件求 $|\vec{b}|$

因为 $(2\vec{a}+\vec{b})\perp \vec{b}$，所以 $(2\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=0$。

展开得：$2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=0$。

将 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ 代入：

$2(-1)+|\vec{b}{|}^2=0$。

$|\vec{b}{|}^2=2$。

第三步：得出结论

由 $|\vec{b}{|}^2=2$ 且向量模长非负，得：

$|\vec{b}|=\sqrt{2}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量数量积的运算律与向量垂直的充要条件

2. 核心方法：由垂直转化为数量积为零，建立关于 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与 $|\vec{b}{|}^2$ 的方程组联立求解

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量垂直的充要条件 $\vec{u}\perp \vec{v}⟺\vec{u}\cdot \vec{v}=0$

2. 结论推广: 已知 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 与 $|\vec{a}|$ 可反求 $|\vec{b}|$，进而确定向量模长与夹角。

3. 方法推广: 适用于已知垂直关系求向量模长、夹角或数量积的题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-03 单-向量数量积
• 2015-湖北卷文-11 填-向量数量积
• 2015-浙江卷文-13 填-向量数量积