2007-上海卷理-08 填-抛物线标准方程

本题导读

本题考查双曲线的几何特征与抛物线标准方程的交汇求解。通过提取双曲线的中心坐标与焦距参数，精准锁定目标抛物线的顶点与焦点空间几何位置。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 以双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$ 的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 提取双曲线关键点：中心为 $(0,0)$，焦距参数满足 $c=\sqrt{a^2+b^2}$，求出左焦点坐标。

2. 构建抛物线方程：将上述两点映射为抛物线的“焦点”与“顶点”，依据两点相对方向判断开口方向并计算焦准距参数 $p$，从而写出标准方程。

✅【答案】

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$y^2=12(x+3)$ （或 $y^2=12x+36$）

✍【详细解析】

Abstract

已知双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$，其中心为原点 $O(0,0)$． 因为 $a^2=4,b^2=5$，所以 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+5}=3$． 则双曲线的左焦点为 $F_1(-3,0)$． 由题意，目标抛物线的焦点为 $F(0,0)$，顶点为 $V(-3,0)$． 因为焦点和顶点都在 $x$ 轴上，且焦点的横坐标大于顶点的横坐标， 所以该抛物线对称轴为 $x$ 轴，开口向右． 抛物线顶点到焦点的距离为 $\frac{p}{2}=0-(-3)=3$，解得 $p=6$． 故抛物线的标准平移方程为 $(y-y_0{)}^2=2p(x-x_0)$，代入顶点坐标 $(-3,0)$ 得： $y^2=2\times 6\times [x-(-3)]⟹y^2=12(x+3)$ 展开为一般式即为 $y^2=12x+36$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦距参数关系 $c^2=a^2+b^2$，平移型抛物线标准方程的几何决定要素。

2. 核心方法：数形结合相对位置判定法。

3. 避坑指南：容易由于思维定势将抛物线的顶点默认为原点，错写成 $y^2=12x$；必须注意本题中顶点已平移至 $(-3,0)$，需使用平移变换公式。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中圆锥曲线基础定义章节的拼盘交汇题，主要评估对抛物线核心几何要素（顶点、焦点、焦准距）对应关系的掌握深度。

5. 结论推广：对于任意顶点在 $(x_0,y_0)$、开口向右且焦准距为 $p$ 的抛物线，其代数方程恒可以统一规范表达为 $y^2-2y_{0}y+y_0^2=2px-2p{x}_0$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积