2007-上海卷理-09 填-命题真伪判定反例构造

本题导读

本题考查实数域运算规律向复数域推广时的有效性边界判定。通过对比实数与复数代数运算特征的差异，考查思维的严谨性与反例构造能力。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 对于非零实数 $a,b$，以下四个命题都成立： ① $a+\frac{1}{a}\ne 0$； ② $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$； ③ 若 $|a|=|b|$，则 $a=\pm b$； ④ 若 $a^2=ab$，则 $a=b$． 那么，对于非零复数 $a,b$，仍然成立的命题的所有序号是 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐项审核复数适用性：针对每一个命题，思考在复数范围内是否存在特例（反例）使之失效。

2. 规律鉴别：复数的乘法加法完全满足交换律与分配律，故代数展开式必定成立；但复数模长相等不代表方向相同，且虚数平方可以为负，这些是破坏原实数命题的核心破局点。

✅【答案】

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②④

✍【详细解析】

Abstract

① 当 $a=\text{i}$ 时（$\text{i}$ 为非零复数），$a+\frac{1}{a}=\text{i}+\frac{1}{\text{i}}=\text{i}-\text{i}=0$，故①在复数域内不成立； ② 因为复数的加法与乘法运算完全保留了实数的交换律、结合律与分配律，所以乘方展开式 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ 对任意复数仍然恒成立，故②成立； ③ 若取 $a=1,b=\text{i}$，显然均为非零复数，且模长满足 $|1|=|\text{i}|=1$，但 $1\ne \pm \text{i}$，故③在复数域内不成立； ④ 若 $a^2=ab$，移项因式分解得 $a(a-b)=0$．因为条件明确指出 $a$ 是非零复数，根据复数无零因子的性质（积为零则必有一因子为零），必有 $a-b=0⟹a=b$，故④仍然成立． 综上所述，仍然成立的命题序号是 ②④．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数运算性质与实数运算性质的异同比较，复数模的几何内涵。

2. 核心方法：特值反例证伪法，代数方程因式分解法。

3. 避坑指南：③中易受实数绝对值的直观经验干扰，误以为模长相等就只有正负两种可能，需牢记复平面内满足模长相等的点构成一个连续的圆周，有无数个不同方向的复数。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题是一道非常经典的数域扩张辨析题，源于教材在引入复数概念后，对“哪些实数运算规律在复数域中可以保持，哪些会失效”这一方法论层面的深度思考。

5. 结论推广：在代数扩张中，所有仅依赖于环的乘法交换律与分配律的恒等式（如因式分解公式、二项式定理）在复数域中均完全保持；而依赖于全序关系或正定性的命题（如绝对值大小、平方非负性）在复数域中通常会失效。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性