12.01 数系的扩充与复数

🟦 数系的扩充与复数 (Complex Numbers)

核心心法

“虚实结合，数形互映”。复数的引入解决了实数范围内负数不能开平方的问题。掌握复数的关键在于其代数、坐标、向量以及三角形式的四维统一，特别是在复平面内通过模长与辐角处理几何轨迹与旋转变换。

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一、 数系的扩充和复数的概念

1. 数系关系

$N^{\ast }\subseteq N\subseteq Z\subseteq Q\subseteq R\subseteq C$

2. 复数的定义与表示

• 定义：集合 $C=\{a+bi\mid a,b\in R\}$ 中的数，即形如 $a+bi(a,b\in R)$ 的数叫做复数。
• 虚数单位：$i$ 满足 $i^2=-1$。
• 代数形式：$z=a+bi(a,b\in R)$，其中 $a$ 为实部，$b$ 为虚部。

3. 复数相等的充要条件

• (1) $a+bi=c+di⟺a=c$ 且 $b=d(a,b,c,d\in R)$
• (2) $a+bi=0⟺a=0$ 且 $b=0(a,b\in R)$
• (3) 大小比较：$a+bi>c+di⟺b=d=0$ 且 $a>c$（只有实数才能比较大小）。

4. 复数的分类

• $z=a+bi\{\begin{array}{l}b=0\Rightarrow \text{实数}\\ b\ne 0\Rightarrow \text{虚数}\{\begin{array}{l}a=0\Rightarrow \text{纯虚数}\\ a\ne 0\Rightarrow \text{非纯虚数}\end{array}\end{array}$
• 关系：纯虚数集 $\subset$ 虚数集 $\subset$ 复数集；实数集 $\subset$ 复数集。

5. 几何意义与模

• 复平面：$x$ 轴为实轴，$y$ 轴为虚轴。
• 一一对应：$z=a+bi⟺Z(a,b)⟺\overrightarrow{OZ}=(a,b)$。
• 复数的模：$|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$。

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二、 复数代数形式的四则运算

1. 运算法则

• 加减法：$(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$。
• 乘法：$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$。
• 除法：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$（分母实数化）。

2. 加减法的几何意义

• 距离公式：$d=|z_2-z_1|=\sqrt{(a-c{)}^2+(b-d{)}^2}$。
• 轨迹判定：
  • (1) $|z-z_0|=r$：以 $z_0$ 为圆心、半径为 $r$ 的圆。
  • (2) $|z-z_1|=|z-z_2|$：以 $z_1,z_2$ 为端点的线段的垂直平分线。

3. 共轭复数

• 定义：实部相同，虚部互为相反数，记为 $\bar{z}=a-bi$。
• 性质：
  • $z=\bar{z}⟺z\in R$；$|z|=|\bar{z}|$。
  • $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。
  • 因式分解：$a^2+b^2=(a+bi)(a-bi)$。

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三、 复数的三角形式及运算

1. 形式定义

• 三角形式：$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$
  • $r=|z|\ge 0$ 为模；$\theta$ 为辐角。
  • 辐角主值：$\theta \in [0,2\pi )$。

2. 乘除法法则

• 乘法：模相乘，辐角相加。
• 除法：模相商，辐角相减。

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四、 复数的进阶结论与周期性

1. 常用运算公式

• (1) $\frac{1}{i}=-i$ ； (2) $(1\pm i{)}^2=\pm 2i$ ； (3) $\frac{1+i}{1-i}=i$ ； (4) $\frac{1-i}{1+i}=-i$
• (5) $a+bi=i(b-ai)$ ； (6) $i^n+i^{-n}=i^n+(-i{)}^n$

2. $i^n$ 的周期性

• $i^{4n+1}=i,i^{4n+2}=-1,i^{4n+3}=-i,i^{4n}=1$
• 性质：连续四项之和 $i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0$。

3. 三次单位根 $\omega$

$x^3=1$ 的根为 $1,\omega ,\bar{\omega }$，其中 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。

• (1) ${\omega }^3=1$ ； (2) $1+\omega +{\omega }^2=0$ ； (3) $\omega \cdot \bar{\omega }=1$ ； (4) ${\omega }^2=\bar{\omega },{\bar{\omega }}^2=\omega$。

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五、 实系数一元二次方程

对于 $a{x}^2+bx+c=0$ ($a,b,c\in R$)，判别式 $\Delta =b^2-4ac$：

• (1) $\Delta >0\Rightarrow$ 两个不等实根。
• (2) $\Delta =0\Rightarrow$ 两个相等实根。
• (3) $\Delta <0\Rightarrow$ 在复数集内有两个共轭复数根： $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{-(b^2-4ac)}i}{2a}$

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