2007-上海卷理-11 填-曲线方程

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求解及其图形的绘制。核心在于利用极坐标的几何意义将直角坐标系下的圆方程转化为关于极径与极角的函数解析式，进而在新坐标系下刻画出正弦曲线弧段。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 已知 $P$ 为圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 上任意一点（原点 $O$ 除外），直线 $OP$ 的倾斜角为 $\theta$ 弧度，记 $d=|OP|$。在右侧的坐标系中，画出以 $(\theta ,d)$ 为坐标的点的轨迹的大致图形为：$\underline{}$。

🔍【思路分析】

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1. 建立方程：将圆的直角坐标方程展开，利用极坐标公式 $x=d\cos \theta ,y=d\sin \theta$ 代入消元。

2. 确定范围与作图：解出 $d$ 关于 $\theta$ 的函数关系式，分析自变量 $\theta$ 的实际几何边界，在网格中准确画出对应区间的曲线段。

✅【答案】

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一条拱形正弦曲线弧（最高点为 $(\frac{\pi }{2},2)$，端点 $(0,0)$ 和 $(\pi ,0)$ 为空心）

✍【详细解析】

Abstract

设点 $P$ 的直角坐标为 $(x,y)$． 由题意可知，导向距离 $d=|OP|$ 相当于极径，倾斜角 $\theta$ 相当于极角，则有： $x=d\cos \theta ,y=d\sin \theta$ 将圆的方程 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 展开得： $x^2+y^2-2y=0$ 将坐标转换公式代入上式得： $(d\cos \theta {)}^2+(d\sin \theta {)}^2-2d\sin \theta =0$ $d^2-2d\sin \theta =0$ 因为点 $P$ 排除原点，所以 $d>0$，方程两边同除以 $d$ 得： $d=2\sin \theta$ 由于圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 位于 $x$ 轴上方且与 $x$ 轴相切于原点，当动点 $P$ 在圆上运动（除去原点）时，直线 $OP$ 的倾斜角变化范围为 $0<\theta <\pi$． 因此，以 $(\theta ,d)$ 为坐标的点的轨迹是正弦型函数 $d=2\sin \theta$ 在开区间 $(0,\pi )$ 上的图象． 该图形为一条拱形正弦曲线弧，最高点为 $\left(\frac{\pi }{2},2\right)$，左端点 $(0,0)$ 与右端点 $(\pi ,0)$ 均为不开包含的空心点．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角坐标向极坐标的转换公式，正弦型函数的性质与图象绘制。

2. 核心方法：坐标公式代换法。

3. 避坑指南：必须注意自变量 $\theta$ 无法取到 $0$ 和 $\pi$（此时动点 $P$ 退化为原点），因此在坐标系中绘制出的曲线两端点必须以空心圈表示，切勿画成实心或延伸至全实数域。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中极坐标方程构建的经典模型——过原点的圆的极坐标标准方程 $e=2R\sin \theta$，通过变换坐标轴含义考查考生的变形迁移能力。

5. 结论推广：对于任意过原点、圆心在 $y$ 轴正半轴且半径为 $R$ 的圆，其对应的极径与极角满足的代数方程式恒为 $d=2R\sin \theta$ ；若圆心在 $x$ 轴正半轴，则通式相应转化为 $d=2R\cos \theta$ ．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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• 07.03 三角函数的图象与性质

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