18.16 参数方程与复数变换

🟦参数方程与复数变换

1. 长度参数

$t$引入与参数方程 过定点 $P_0(x_0,y_0)$、倾斜角为 $\alpha$ 的直线参数方程： $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}(t\text{为参数})$

参数$t$几何意义

1. $t$ 表示有向线段 $P_{0}P$ 的模；直线上两点距离： $|P_1{P}_2|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2{)}^2-4t_1{t}_2}$

2. 直线与二次曲线交于 $A,B$，对应参数 $t_1,t_2$，则弦长 $|\mathbf{AB}|=|{\mathbf{t}}_1-{\mathbf{t}}_2|$ 3. 若 $P_0$ 为 $AB$ 中点，则 ${\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2=0$；中点对应参数 ${\mathbf{t}}_{\mathbf{M}}=\frac{{\mathbf{t}}_1+{\mathbf{t}}_2}{2}$

2. 长度参数

$t$解决与共线分弦问题

性质1

圆锥曲线半通径 $ep=\frac{b^2}{a}\left(p=\frac{b^2}{c}\right)$； 焦点所在对称轴上存在定点 $M$，过 $M$ 的弦为 $PQ$，则 $\frac{1}{|\mathbf{MP}|}+\frac{1}{|\mathbf{MQ}|}=\frac{2}{\mathbf{ep}}$ 此时 $M$ 必为焦点。

性质2

离心率为 $e$，焦准距为 $p$，长轴(实轴)上存在定点 $M$，过 $M$ 的弦 $PQ$ 满足： $\frac{1}{|\mathbf{MP}{|}^2}+\frac{1}{|\mathbf{MQ}{|}^2}=\frac{2-{\mathbf{e}}^2}{{\mathbf{e}}^2{\mathbf{p}}^2}$

1. 椭圆 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}+\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 过定点 $\mathbf{M}\left(\pm \frac{\mathbf{ac}}{\sqrt{{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}},0\right)$ 的弦 $PQ$： $\frac{1}{|\mathbf{MP}{|}^2}+\frac{1}{|\mathbf{MQ}{|}^2}=\frac{{\mathbf{a}}^2+{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{b}}^4}$

2. 双曲线 $\frac{{\mathbf{x}}^2}{{\mathbf{a}}^2}-\frac{{\mathbf{y}}^2}{{\mathbf{b}}^2}=1(\mathbf{a}>\mathbf{b}>0)$ 过定点 $\mathbf{M}\left(\pm \frac{\mathbf{ac}}{\sqrt{{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2}},0\right)$ 的弦 $PQ$： $\frac{1}{|\mathbf{MP}{|}^2}+\frac{1}{|\mathbf{MQ}{|}^2}=\frac{{\mathbf{a}}^2-{\mathbf{b}}^2}{{\mathbf{b}}^4}$