2007-上海卷理-13 单-代数式作差比较法

本题导读

本题考查不等式基本性质的判定。通过作差法或性质分析对各选项进行严格的代数符号推导，属于考查不等式定性分析能力的常规题。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 设 $a,b$ 是非零实数，若 $a<b$，则下列不等式成立的是()

A. $a^2<b^2$　　B. $a{b}^2<a^{2}b$　　C. $\frac{1}{a{b}^2}<\frac{1}{a^{2}b}$　　D. $\frac{b}{a}<\frac{a}{b}$

🔍【思路分析】

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1. 选项定性分析：利用作差法将选项两边相减，化简为乘积或分式结构，分析其符号是否恒定。

2. 特值快速检验：通过构造正负、绝对值大小不同的具体数值，快速排除错误的选项。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对于 A 选项：若取 $a=-2,b=1$，满足 $a<b$，但 $a^2=4>b^2=1$，不成立，排除 A； 对于 B 选项：将不等式两边作差变形得 $a{b}^2-a^{2}b=ab(b-a)$．已知 $a<b⟹b-a>0$，因此该式符号完全取决于 $ab$ 的正负．若 $a=1,b=2$，满足 $a<b$，但 $ab=2>0$，此时 $a{b}^2-a^{2}b=2>0⟹a{b}^2>a^{2}b$，不成立，排除 B； 对于 C 选项：将不等式两边作差变形得： $\frac{1}{a{b}^2}-\frac{1}{a^{2}b}=\frac{a-b}{a^2{b}^2}$ 因为 $a<b⟹a-b<0$．又因为 $a,b$ 是非零实数，其平方积满足 $a^2{b}^2>0$． 根据正负异号相除性质，恒有 $\frac{a-b}{a^2{b}^2}<0$，即 $\frac{1}{a{b}^2}<\frac{1}{a^{2}b}$ 必然恒成立，C 正确； 对于 D 选项：若取 $a=1,b=2$，则 $\frac{b}{a}=2$，$\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$，显然 $2>\frac{1}{2}$，不成立，排除 D． 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式的乘除与倒数性质，符号判定法则。

2. 核心方法：作差变形因式分解法，特值排除法。

3. 避坑指南：在处理不等式性质时，切忌盲目代入绝对值经验，必须高度警惕负数、同号、异号等边界状态对不等号方向的影响。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中关于不等式性质定理的探究活动，旨在通过多元符号组合考查学生推理论证的严密性。

5. 结论推广：对任意非零实数 $a,y$，不等式 $a<b$ 能够必然推导出倒数型不等式成立的充要条件是：两边减式的分母乘积项在对应数域上具有正定性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-04 单-二项分布