2015-新课标I卷理-04 单-二项分布

本题导读

本题考查独立重复试验（伯努利试验）概率的计算。通过投篮测试这一实际背景，考查学生对二项分布模型 $X\sim B(n,p)$ 及其概率公式的理解和应用。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ()

A. 0.648　　　　　B. 0.432　　　　　C. 0.36　　　　　D. 0.312

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别模型：该同学投篮 3 次，每次投中概率相同且相互独立，符合二项分布模型。设投中次数为 $X$，则 $X\sim B(3,0.6)$。
2. 确定事件：通过测试的条件是“至少投中 2 次”，即 $X=2$ 或 $X=3$。
3. 计算公式：利用二项分布概率公式 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 分别计算并求和。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

1. 计算恰好投中 2 次的概率： $P(X=2)=C_3^2\times (0.6{)}^2\times (1-0.6{)}^1=3\times 0.36\times 0.4=0.432$。

2. 计算恰好投中 3 次的概率： $P(X=3)=C_3^3\times (0.6{)}^3\times (1-0.6{)}^0=1\times 0.216\times 1=0.216$。

3. 求和计算总概率： $P(X⩾2)=P(X=2)+P(X=3)=0.432+0.216=0.648$。

最终答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心模型：$n$ 次独立重复试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率公式是解题关键。
• 关键词转化：“至少”往往意味着需要对多种可能情况进行分类相加。
• 计算注意：小数幂运算和组合数 $C_n^k$ 的乘积需细心，避免低级失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若投篮次数增加或要求改变，公式依然适用。例如至少投中 1 次，可利用对立事件计算：$1-P(X=0)$。
• 方法推广:
  • 对立事件法：当正向分类情况较多时（如“至少投中 1 次”），采用 $1-P(\text{一次没中})$ 更快捷。
• 相关知识点:

  • - **期望与方差**：对于 $B(n, p)$，期望 $E(X) = np$，方差 $D(X) = np(1-p)$。在本题中，$E(X) = 3 \times 0.6 = 1.8$。
    

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练(Links)

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• 2013年四川卷理-18