2007-北京卷文-10 填-由Sn求通项

本题导读

本题考查由前n项和求通项。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=n^2-10n$（$n=1,2,3,\cdots$），则此数列的通项公式为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. $n⩾2$：$a_n=S_n-S_{n-1}$。
2. 代入验证 $n=1$ 是否满足，统一写通项。

✅【答案】

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$a_n=2n-11$（$n=1,2,3,\cdots$）

✍【详细解析】

Abstract

当 $n⩾2$ 时， $a_n=S_n-S_{n-1}=n^2-10n-\left[(n-1{)}^2-10(n-1)\right]=2n-11.$ 当 $n=1$ 时，$a_1=S_1=1-10=-9$，而 $2\times 1-11=-9$，也满足上式． 故对一切 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a_n=2n-11$． （此时 $\{a_n\}$ 是公差为 $2$ 的等差数列：$S_n$ 是关于 $n$ 的二次式且常数项为 $0$，这正是等差数列的特征。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由Sn求通项

核心方法：an 与 Sn 关系，验证 n=1

避坑指南：aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ 只对 n≥2 成立，n=1 必须单独验证

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列通项公式求法

结论推广：Sₙ 是常数项为零的二次式 ⟺ {aₙ} 等差

方法推广：由 Sₙ 求 aₙ 后必须检验 n=1

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练(Links)

• 2010-安徽卷文-05 单-Sn与an的关系
• 2013-新课标I卷理-14 填-Sn与an