2007-北京卷文-12 填-正弦定理求边

本题导读

本题考查正弦定理，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，若 $\tan A=\frac{1}{3}$，$C=150^{\circ }$，$BC=1$，则 $AB=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. $A$ 为锐角，由 $\tan A=\frac{1}{3}$ 得 $\sin A=\frac{1}{\sqrt{10}}$。
2. 正弦定理：$\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}$。
3. 代入 $BC=1$、$\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{10}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\tan A=\frac{1}{3}$ 且 $A$ 为三角形内角，知 $A$ 为锐角，$\cos A=\frac{3}{\sqrt{10}}$，$\sin A=\frac{1}{\sqrt{10}}$． 由正弦定理 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A}⟹AB=\frac{BC\cdot \sin C}{\sin A}=\frac{1\times \sin 150^{\circ }}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{10}}{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理求边

核心方法：tanA 转正弦，正弦定理

避坑指南：tanA=1/3 时 sinA=1/√10（A 为锐角），同角关系别取错符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC

结论推广：已知两边与对角型优先正弦定理

方法推广：三角恒等式与解三角形常配合使用

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练(Links)

• 2008-北京卷文-04 单-正弦定理求角
• 2008-陕西卷文-13 填-正弦定理解三角形