2008-陕西卷文-13 填-正弦定理解三角形

本题导读

$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{1}{2}$，$C=30^{\circ }$，$A=30^{\circ }$；$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\sqrt{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $c=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}$，$B=120^{\circ }$，则 $a=$　　　.

🔍【思路分析】

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已知两边与其中一边的对角，先用正弦定理求 $\sin C$；$B$ 已是钝角，$C$ 只能取锐角 $30^{\circ }$，于是 $A=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$.

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理，$\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{2}$．因为 $B=120^{\circ }$ 是钝角，$C$ 只能取 $30^{\circ }$，于是 $A=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$．再由正弦定理，$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{6}\times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理解三角形

核心方法：$\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 先求 $\sin C$，内角和补 $A$，再回代求 $a$

避坑指南：$B=120^{\circ }$ 已是钝角，$C$ 只能取 $30^{\circ }$（$150^{\circ }$ 使内角和超出 $180^{\circ }$）；求出 $\sin C=\frac{1}{2}$ 后别漏掉这层筛选

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材正弦定理与解三角形的基本流程

结论推广：正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$；已知两角一边时第三角由内角和补齐

方法推广：解三角形先画图标出已知量；遇”已知角为钝角”立即排除另一钝角可能，避免增解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-07 单-正弦定理
• 2012-陕西卷理-07 单-导数的极值
• 2008-陕西卷理-03