2007-北京卷文-15 解-分式不等式与包含

本题导读

本题考查分式不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(文)） 记关于 $x$ 的不等式 $\frac{x-a}{x+1}<0$ 的解集为 $P$，不等式 $|x-1|⩽1$ 的解集为 $Q$． （1）若 $a=3$，求 $P$； （2）若 $Q\subseteq P$，求正数 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. （1）$\frac{x-3}{x+1}<0$ 等价于 $(x-3)(x+1)<0$，两根之间。
2. （2）$|x-1|⩽1$ 即 $0⩽x⩽2$；$a>0$ 时 $P=(-1,a)$。
3. $[0,2]\subseteq (-1,a)$ 要求 $a>2$（端点 $2$ 必须在 $P$ 内，$a=2$ 时 $2\notin P$）。

✅【答案】

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（1）$P=(-1,3)$；（2）正数 $a$ 的取值范围为 $(2,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 当 $a=3$ 时，$\frac{x-3}{x+1}<0$ 等价于 $(x-3)(x+1)<0$，解得 $-1<x<3$，故 $P=(-1,3).$ （2） 由 $|x-1|⩽1$ 得 $-1⩽x-1⩽1$，即 $Q=[0,2]$． 当 $a>0$ 时，$\frac{x-a}{x+1}<0$ 的解集 $P=(-1,a)$． 由 $Q\subseteq P$，需 $[0,2]\subseteq (-1,a)$，这要求 $a>2$（若 $a=2$，则 $2\notin (-1,2)$，不满足；若 $a<2$，$2\notin P$）． 故正数 $a$ 的取值范围是 $(2,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式与包含

核心方法：同号相乘化整式，子集定参数

避坑指南：Q⊆P 比较端点时 P 是开区间，a=2 时 2 不在 P 内，必须 a>2

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含参不等式的解集包含

结论推广：(x−a)/(x+1)<0（a>0）的解集是 (−1,a)

方法推广：开区间包含开区间时端点条件单独验证

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2008-北京卷文-10 填-分式不等式
• 2008-山东卷文-07 单-分式不等式解集