2008-北京卷文-10 填-分式不等式

本题导读

考查分式不等式。移项通分得 $\frac{-3}{x+2}>0$，分母为负即 $x<-2$，解集 $\{x\mid x<-2\}$。

📌【题干】

Question

（2008年北京卷(文)） 不等式 $\frac{x-1}{x+2}>1$ 的解集是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 不能直接去分母（$x+2$ 符号不定），先移项。
2. $\frac{x-1}{x+2}-1=\frac{x-1-(x+2)}{x+2}=\frac{-3}{x+2}>0$。
3. 分子为负，分母须为负：$x+2<0$。

✅【答案】

点击查看答案

$\{x\mid x<-2\}$

✍【详细解析】

Abstract

移项， $\frac{x-1}{x+2}-1>0\Rightarrow \frac{(x-1)-(x+2)}{x+2}>0\Rightarrow \frac{-3}{x+2}>0.$ 分子 $-3<0$，故需 $x+2<0$，即 $x<-2$. 所以解集为 $\{x\mid x<-2\}$. 故答案为 $\{x\mid x<-2\}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分式不等式

核心方法：$\frac{-3}{x+2}>0⟺x+2<0⟺x<-2$

避坑指南：含等号右侧非零时必须移项通分，不能直接交叉相乘；分子定值 $-3<0$，分母取负即解，避开分类讨论。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分式不等式是解不等式基本功，2010 大纲Ⅰ文第 13 题、2012 重庆文第 2 题同型。

结论推广：$\frac{f(x)}{g(x)}>a⟺\frac{f(x)-ag(x)}{g(x)}>0$；商与积同号：$\frac{f}{g}>0⟺fg>0$。

方法推广：“移项—通分—化积”三步走；右边是 $1$ 不是 $0$ 时，直接去分母是最常见错误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-13 填-分式不等式
• 2010-大纲卷II文-02 单-分式不等式
• 2012-重庆卷文-02 单-分式不等式的解集
• 2013-上海卷文-01 填-分式不等式