2007-北京卷理-09 填-完全平方公式在复数中应用

本题导读

本题考查复数的基本代数四则运算。核心在于先利用完全平方公式展开分母，再根据虚数单位 ${\text{i}}^2=-1$ 简化复数分式。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） $\frac{2}{(1+\text{i}{)}^2}=$ ________.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母完全平方展开：由 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$，将 $(1+\text{i}{)}^2$ 展开。

2. 利用虚数定义化简：代入 ${\text{i}}^2=-1$，消去实部常数项。

3. 约分求最终解：将得到的纯虚数分母与分子进行直接约分。

✅【答案】

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$-\text{i}$

✍【详细解析】

Abstract

解：首先，利用完全平方公式将分母部分进行代数展开： $(1+\text{i}{)}^2=1^2+2\times 1\times \text{i}+{\text{i}}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2$

根据虚数单位的定义 ${\text{i}}^2=-1$， 代入上式中： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$

将化简后的纯虚数分母代回原分式中， 并进行约分对消： $\frac{2}{(1+\text{i}{)}^2}=\frac{2}{2\text{i}}=\frac{1}{\text{i}}$

分子分母同时乘以 $\text{i}$ 进行分母实数化： $\frac{1}{\text{i}}=\frac{1\times \text{i}}{\text{i}\times \text{i}}=\frac{\text{i}}{{\text{i}}^2}=\frac{\text{i}}{-1}=-\text{i}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数运算中基本完全平方常用项的快速转化（ $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$ 属于高频基本常数项）。
2. 核心方法：分母直接展开法。
3. 避坑指南：

• 牢记 $\frac{1}{\text{i}}=-\text{i}$，避免在最后一步有理化时把负号看错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自高中数学复数概念与四则代数运算的基础练习题。

2. 结论推广: 针对任何形如 $\frac{2k}{(1\pm \text{i}{)}^2}$ 的复数分式， 其化简通解模型永远固定等于 $\mp k\text{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数