2007-北京卷理-18 解-离散型随机变量分布列数学期望

本题导读

本题考查统计图表的数据处理以及离散型随机变量分布列与期望的计算。第一问通过频数分布直方图直接加权求平均数；第二问利用古典概型组合数求相同次数的概率；第三问通过对两人次数差的绝对值进行分类讨论，建立完整的概率分布模型。

📌【题干】

Question

（2007年北京卷(理)） 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动 (以下简称活动). 该校合唱团共有 100 名学生，他们参加活动的次数统计如图所示.

(1) 求合唱团学生参加活动的人均次数；

(2) 从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；

(3) 从合唱团中任意选两名学生，用 $\xi$ 表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从统计图提取基础数据：

• 参加 1 次的学生人数： $n_1=10$ 人；
• 参加 2 次的学生人数： $n_2=50$ 人；
• 参加 3 次的学生人数： $n_3=40$ 人。
• 总人数验证： $10+50+40=100$ 人。

2. 第一问：利用加权平均数公式： $\bar{x}=\frac{1\times n_1+2\times n_2+3\times n_3}{100}$ 进行计算。
3. 第二问：

• 从 100 人中任选 2 人的总组合数为 ${\text{C}}_{100}^2$。
• “次数恰好相等”包含三种互斥情况：两人都参加1次（ ${\text{C}}_{10}^2$）、两人都参加2次（ ${\text{C}}_{50}^2$）、两人都参加3次（ ${\text{C}}_{40}^2$）。三者相加除以总方案数。

4. 第三问：

• 确定变量 $\xi$ 的取值：因为可能次数为 1, 2, 3， 两数之差的绝对值 $\xi$ 的取值只能是 $0,1,2$。

• $\xi =0$ 的概率即为第二问所求。

• $\xi =1$ 对应一人1次一人2次， 或一人2次一人3次。

• $\xi =2$ 对应一人1次一人3次。分别求出概率列出分布列表，带入期望公式。

✅【答案】

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$（1）\mathrm{2.3.}（2）4199.（3）P(𝜉=0)=41$

✍【详细解析】

Abstract

解：从参加人数统计图表可直接提取各分段项的离散频数：

• 参加 1 次活动的学生人数为 10 人；
• 参加 2 次活动的学生人数为 50 人；
• 参加 3 次活动的学生人数为 40 人。 总人数全额合计为 $10+50+40=100$ 人。

（1）根据加权平均数公式， 合唱团学生参加活动的人均次数 $\bar{x}$ 为： $\bar{x}=\frac{1\times 10+2\times 50+3\times 40}{100}=\frac{10+100+120}{100}=\frac{230}{100}=2.3\text{ 次}$

（2）从合唱团 100 名学生中随机抽取 2 名学生， 总组合方案数为 ${\text{C}}_{100}^2=\frac{100\times 99}{2}=4950$ 种。 设“抽取的两名学生参加活动次数恰好相等”为事件 $A$。 事件 $A$ 包含三种两两互斥的基本事件形态：

• 选出的两名学生参加次数均为 1 次： 方案数为 ${\text{C}}_{10}^2=\frac{10\times 9}{2}=45$ 种；
• 选出的两名学生参加次数均为 2 次： 方案数为 ${\text{C}}_{50}^2=\frac{50\times 49}{2}=1225$ 种；
• 选出的两名学生参加次数均为 3 次： 方案数为 ${\text{C}}_{40}^2=\frac{40\times 39}{2}=780$ 种。

根据分类加法原理与古典概型公式， 事件 $A$ 的概率为： $P(A)=\frac{{\text{C}}_{10}^2+{\text{C}}_{50}^2+{\text{C}}_{40}^2}{{\text{C}}_{100}^2}=\frac{45+1225+780}{4950}=\frac{2050}{4950}=\frac{41}{99}$

（3）根据题意， 随机变量 $\xi$ 表示任意两学生参加活动次数之差的绝对值。 因为可能的活动次数仅有 1, 2, 3， 所以 $\xi$ 的所有可能取值只能为 $0,1,2$。

各个取值对应的古典概率分别计算如下：

• 当 $\xi =0$ 时， 意味着两个学生参加的次数完全相等， 其概率由第（2）问直接可得： $P(\xi =0)=\frac{2050}{4950}=\frac{41}{99}$
• 当 $\xi =1$ 时， 意味着两人次数相差 1 次， 包含（1次与2次）以及（2次与3次）两种组合情况： $P(\xi =1)=\frac{{\text{C}}_{10}^1{\text{C}}_{50}^1+{\text{C}}_{50}^1{\text{C}}_{40}^1}{{\text{C}}_{100}^2}=\frac{10\times 50+50\times 40}{4950}=\frac{500+2000}{4950}=\frac{2500}{4950}=\frac{50}{99}$
• 当 $\xi =2$ 时， 意味着两人次数相差 2 次， 有且仅有（1次与3次）一种组合情况： $P(\xi =2)=\frac{{\text{C}}_{10}^1{\text{C}}_{40}^1}{{\text{C}}_{100}^2}=\frac{10\times 40}{4950}=\frac{400}{4950}=\frac{8}{99}$

(核校全概率和： $\frac{41}{99}+\frac{50}{99}+\frac{8}{99}=\frac{99}{99}=1$， 概率闭环完全正确)

因此， 随机变量 $\xi$ 的确定分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{41}{99}$	$\frac{50}{99}$	$\frac{8}{99}$

根据数学期望的代数定义通式： $E\xi =0\times P(\xi =0)+1\times P(\xi =1)+2\times P(\xi =2)$ $E\xi =0\times \frac{41}{99}+1\times \frac{50}{99}+2\times \frac{8}{99}=\frac{50+16}{99}=\frac{66}{99}=\frac{2}{3}$

所以， 随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E\xi =\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：加权平均数计算、古典概型组合数互斥事件求和、两动点离散差值绝对值变量分布列的建模与期望求解。
2. 核心方法：全方位多项分类穷举古典概率法。
3. 避坑指南：

• 第二问计算组合数时，大数乘法容易在浮躁中算错端点。如 ${\text{C}}_{50}^2=\frac{50\times 49}{2}=25\times 49=1225$， 考场上应在草稿纸上落笔稳步计算，切勿口算。
• 第三问算完所有分布列概率后，必须养成“把所有概率加一下看是否等于 1” 的硬核核校好习惯。如果加起来不等于 1， 必然是中间某一分支的组合项有漏算，可立刻回头纠错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查条形统计图的数据提取与均值计算、古典概型与组合数计数，是北京卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（频数求和法、穷举组合分析法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：条形统计图的数据提取与均值计算、古典概型与组合数计数相互关联，解答中综合运用了频数求和法、穷举组合分析法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷I理-20 解-古典概型
• 2009-大纲卷II理-20 解-古典概型
• 2009-浙江卷理-19 解-古典概型