2009-浙江卷理-19 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型以及离散型随机变量的分布列与数学期望。核心考查意图在于通过新定义变量“相邻的组数”测试排列组合的分类计数能力，其中不相邻问题常借助“插空法”进行简化。

📌【题干】

Question

（2009年浙江卷(理)） 在 1, 2, 3, ···, 9 这 9 个自然数中，任取 3 个数.

(1) 求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率;

(2) 设 $\xi$ 为这 3 个数中两数相邻的组数 (例如: 若取出的数为 1, 2, 3, 则有两组相邻的数 1, 2 和 2, 3, 此时 $\xi$ 的值是 2). 求随机变量 $\xi$ 的分布列及其数学期望 $E\xi$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用古典概型，总情况数为从 9 个数中任取 3 个的组合数 ${\text{C}}_9^3$。恰有 1 个是偶数意味着选出 1 个偶数和 2 个奇数，分别用组合数相乘即可。
2. 第二问：明确随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2。

• $\xi =2$ 代表三个数完全连续，直接列举计数；

• $\xi =0$ 代表三个数互不相邻，可采用“插空法”计数；

• $\xi =1$ 可通过总基本事件数减去上述两种情况的种数间接求得。最后列出分布列并计算期望。

✅【答案】

点击查看答案

（1）1至9中有4个偶数和5个奇数，任取3个数的总数为C3

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 从 1, 2, …, 9 这 9 个自然数中任取 3 个数，基本事件总数为： $N={\text{C}}_9^3=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}=84$ 这 9 个自然数中，偶数有 4 个（2, 4, 6, 8），奇数有 5 个（1, 3, 5, 7, 9）。 选出的 3 个数中恰有 1 个是偶数的选法种数为： $M={\text{C}}_4^1\times {\text{C}}_5^2=4\times 10=40$ 故这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率为： $P=\frac{40}{84}=\frac{10}{21}$

(2) 随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 0, 1, 2. 当 $\xi =2$ 时，表明选出的 3 个数是连续的自然数，可能的组合有： $\{1,2,3\},\{2,3,4\},\{3,4,5\},\{4,5,6\},\{5,6,7\},\{6,7,8\},\{7,8,9\}$ 共 7 种。所以： $P(\xi =2)=\frac{7}{84}=\frac{1}{12}$

当 $\xi =0$ 时，表明选出的 3 个数互不相邻。采用“插空法”，将 3 个选出的数插入到 6 个未选出的数所形成的 7 个空档中，共有选法： ${\text{C}}_7^3=35\text{ 种}$ 所以： $P(\xi =0)=\frac{35}{84}=\frac{5}{12}$

当 $\xi =1$ 时，表明选出的 3 个数中恰有两个相邻，其选法种数通过排除法可得： $84-7-35=42\text{ 种}$ so： $P(\xi =1)=\frac{42}{84}=\frac{1}{2}$

随机变量 $\xi$ 的分布列为：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{5}{12}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{12}$

数学期望为： $E\xi =0\times \frac{5}{12}+1\times \frac{1}{2}+2\times \frac{1}{12}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型基本计数、不相邻位置的“插空法”模型、离散型随机变量分布列与期望。

2. 核心方法：分类讨论法与间接排除法。

3. 避坑指南：在求 $\xi =1$ 的情况时，直接分类计数（如区分边界相邻与内部相邻）极易因考虑不周导致重复或遗漏，利用总数减去 $\xi =0$ 和 $\xi =2$ 的间接排除法最为高效准确。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于组合数学中经典的“不相邻元素选择问题”（波利亚计数的相关变形），通过融入随机变量新定义，演变为高考概率压轴题。

2. 结论推广: 从 $n$ 个连续正整数中任取 $m$ 个数（满足 $n\ge 2m-1$），使得这 $m$ 个数互不相邻的选法总数恒为 ${\text{C}}_{n-m+1}^m$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-12 填-期望
• 2011-北京卷理-17 解-期望