2007-四川卷理-06 单-二面角平面角其判定

本题导读

本题考查球面上动点间最短距离（球面距离）的计算及二面角概念的识别。通过将球面距离转化为对应的球心角，再结合线面垂直判定引出二面角的平面角，最终将球面路径和转化为角弧度求和。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 设球 $O$ 的半径是 1，$A,B,C$ 是球面上三点，已知 $A$ 到 $B,C$ 两点的球面距离都是 $\frac{\pi }{2}$，且二面角 $B-OA-C$ 的大小为 $\frac{\pi }{3}$，则从 $A$ 点沿球面经 $B,C$ 两点再回到 $A$ 点的最短距离是()

A. $\frac{7\pi }{6}$　　　　　　　B. $\frac{5\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{4\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{3\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. 转化球心角：球半径 $R=1$，根据球面距离 $d=R\theta =\theta$，将已知球面距离直接转化为对应的球心角 $\angle AOB$ 与 $\angle AOC$．

2. 确定二面角的平面角：由线面垂直关系判定 $OA\perp$ 平面 $OBC$，得出 $\angle BOC$ 即为二面角 $B-OA-C$ 的平面角．

3. 路径求和：最短距离即为三段大圆劣弧长度之和 $S=\text{overparen}AB+\text{overparen}BC+\text{overparen}CA$．

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为球 $O$ 的半径 $R=1$，且 $A$ 到 $B,C$ 两点的球面距离都是 $\frac{\pi }{2}$， 根据球面距离公式，对应的球心角分别为： $\angle AOB=\frac{\pi }{2},\angle AOC=\frac{\pi }{2}$ 由此可得：$OA\perp OB$ 且 $OA\perp OC$． 因为 $OB\cap OC=O$，且 $OB,OC\subset$ 平面 $OBC$， 所以 $OA\perp$ 平面 $OBC$． 因此，$\angle BOC$ 即为二面角 $B-OA-C$ 的平面角． 由已知二面角的大小为 $\frac{\pi }{3}$，得： $\angle BOC=\frac{\pi }{3}$ 则 $B,C$ 两点间的球面距离（大圆劣弧 $\text{overparen}BC$ 的长）为 $\frac{\pi }{3}$． 从 $A$ 点沿球面经 $B,C$ 两点再回到 $A$ 点的最短路径由三段大圆劣弧组成，其总长度为： $S=\text{overparen}AB+\text{overparen}BC+\text{overparen}CA=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{2}=\frac{4\pi }{3}$ 故选 C．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球面距离与球心角弧度值的等价对应关系，二面角平面角的垂直定义与寻找．

2. 核心方法：空间几何元素的线面垂直化归法．

3. 避坑指南：容易混淆球面距离与空间直线段距离（弦长），牢记球面上两点间的最短距离必须沿着过球心的大圆劣弧进行计算；同时需准确通过线面垂直找到二面角的平面角，避免盲目使用三面角公式导致运算繁琐．

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中关于“球与球面距离”的经典概念题，属于大纲高考中考查空间想象力与数形结合能力的代表性小综合题．

5. 结论推广：在半径为 $R$ 的球面上，若 $A$ 与 $B,C$ 的球心角均为 $\frac{\pi }{2}$，且二面角 $B-OA-C$ 为 $\alpha$，则由 $A\to B\to C\to A$ 的球面最短闭合路径总长恒为 $R(\pi +\alpha )$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-12 单-数列单调性