13.05 几何法求空间角专题

🟦 几何法求空间角专题

一. 异面直线所成的角的几何求解方法

线线角主要是求异面直线所成角

1. 线线角的定义

(1) 定义：设 $a,b$ 是两条异面直线，经过空间任一点 $O$ 作直线 $a^{\prime }\parallel a$，$b^{\prime }\parallel b$，把 $a^{\prime }$ 与 $b^{\prime }$ 所成的锐角或直角叫做异面直线 $a,b$ 所成的角（或夹角）。

(2) 范围：$(0,\frac{\pi }{2}]$

2. 求异面直线所成角一般步骤

(1) 平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线。 (2) 证明：证明所作的角是异面直线所成的角。 (3) 寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之。 (4) 取舍：因为异面直线所成角 $\theta$ 的取值范围是 $(0,\frac{\pi }{2}]$，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3. 平移产生的三种主要方法

(1) 平行四边形平移法； (2) 中位线平移法； (3) 补形平移法（在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线）。

二. 线面角的几何求解方法

1. 直线与平面所成角的定义

如图，一条直线 $PA$ 和一个平面 $\alpha$ 相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点 $A$ 叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 $PO$，过垂足 $O$ 和斜足 $A$ 的直线 $AO$ 叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

方法一：

直接作角法（一作、二证、三求）

步骤一：

作角 过直线上一点（线面交点除外），作平面的垂线，连接垂足与线面交点，得到直线在平面内的投影，直线与投影的夹角即为线面角。

技巧：优先利用题目中已有的线面垂直关系，简化作图。

步骤二：

证角 证明所作的角满足线面角的定义： - 垂线垂直于平面； - 投影是直线在平面内的射影； - 直线与投影的夹角就是所求线面角。

步骤三：

求角 在包含线面角的直角三角形中，利用三角函数关系求解，通常求线面角的正弦值： $\sin \theta =\frac{\text{点到平面的距离}}{\text{直线上该点到线面交点的距离}}$

方法二：等体积法（间接求高）

当直接作垂线困难时，可通过等体积法求点到平面的距离，再计算线面角的正弦值：

1. 设直线上一点为 $D$，线面交点为 $A$；
2. 用等体积法求点 $D$ 到平面的距离 $h$；
3. 线面角 $\theta$ 的正弦值为： $\sin \theta =\frac{h}{AD}$

方法三：三余弦定理

平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角，即线面角$\theta$，满足 $\cos \angle PAB=\cos \theta \cdot \cos \angle OAB$ .

四、三正弦定理

设二面角 $M-AB-N$ 的大小为 $\alpha$，在平面 $M$ 内有一条射线 $AC$，它和棱 $AB$ 所成的角为 $\beta$，和平面 $N$ 所成的角为 $\gamma$，则： $\sin \gamma =\sin \alpha \cdot \sin \beta$ 可形象记为：

线面角的正弦值 = 二面角的正弦值 × 线线角的正弦值。

三. 二面角的几何求解方法

1. 定义法求二面角

直接在二面角的棱上取一点（特殊点），以该点为垂足，分别在两个半平面中作棱的垂线，得到二面角的平面角。用定义法时，要认真观察图形的特性。

2. 三垂线法求二面角 已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，利用三垂线定理或其逆定理作出二面角的平面角。 步骤： 1. 过点 $A$ 作平面 $\beta$ 的垂线，垂足为 $B$；

过垂足 $B$作棱的垂线，垂足为 $O$； 3. 连接 $A$ 与 $O$，则 $\angle AOB$ 即为二面角的平面角。

3. 垂面法求二面角 已知二面角内一点到两个面的垂线，过这两条垂线作平面，该平面与两个半平面的交线所成的角，即为二面角的平面角。 关键性质： 二面角的平面角所在的平面，与二面角的棱互相垂直。

4. 射影面积法求二面角 若二面角的图形中，可求得原图形面积和它在另一个半平面上的射影图形面积，可利用射影面积公式求解。

公式： $\cos \theta =\frac{S_{\text{射影}}}{S_{\text{原}}}=\frac{S_{△A^{\prime }{B}^{\prime }C}}{S_{△ABC}}$ 其中 $\theta$ 为二面角的平面角。

5. 三面角余弦定理

设二面角 $C-OB-A$ 大小为 $\alpha$，$\angle COB={\theta }_1$，$\angle AOB={\theta }_2$，$\angle AOC=\theta$，此时三余弦定理可推广为： $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2+\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\cos \alpha$ 特别地，当 $\alpha =\frac{\pi }{2}$ 时，有 $\cos \theta =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2$。