2007-四川卷理-07 单-向量投影

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算及投影的概念。将“投影相同”转化为向量数量积的等式关系，通过代数化简确定未知参数之间的线性方程。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 设 $A(a,1),B(2,b),C(4,5)$ 为坐标平面上三点，$O$ 为坐标原点，若 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上投影相同，则 $a$ 与 $b$ 满足的关系式为()

A. $4a-5b=3$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $5a-4b=3$

C. $4a+5b=14$　　　　　　　　　　　　　　　D. $5a+4b=14$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 向量坐标化：写出向量 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ 的坐标形式。

2. 投影公式转化：根据向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影为 $\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$，由投影相同列出数量积等式 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$，展开化简。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意，各向量的坐标表示为： $\overrightarrow{OA}=(a,1)$，$\overrightarrow{OB}=(2,b)$，$\overrightarrow{OC}=(4,5)$． 根据向量投影的定义，$\overrightarrow{OA}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上的投影为 $\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$； $\overrightarrow{OB}$ 在 $\overrightarrow{OC}$ 上的投影为 $\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}$． 因为两投影相同，所以： $\frac{\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}=\frac{\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OC}|}⟹\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}$ 利用向量数量积的坐标公式展开得： $4\times a+5\times 1=4\times 2+5\times b$ $4a+5=8+5b$ 移项整理得： $4a-5b=3$ 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标数量积公式，向量投影的代数内涵。

2. 核心方法：公式化归法。

3. 避坑指南：必须注意“投影”是一个实数而非向量，其本身带有正负号，计算时无需计算分母的模长 $|\overrightarrow{OC}|$，直接约去即可简化运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于教材中平面向量数量积的几何意义，是高考考查向量投影概念的最典型基础题。

5. 结论推广：若平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 上的投影相同，则必有 $(\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{c}=0$，即向量 $\vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷理-13 填-二项式通项