2014-新课标II卷理-13 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理的基础应用。通过二项展开式的通项公式确定指定项的幂指数，进而利用已知系数建立方程求解常数参数。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） $(x+a{)}^{10}$ 的展开式中，$x^7$ 的系数为 $15$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 确定 $r$ 的值：令 $x$ 的幂指数等于 $7$，从而求出对应的项数 $r+1$。
3. 建立等式：提取出 $x^7$ 的完整系数（包含二项式系数和常数 $a$ 的幂），令其等于 $15$。
4. 解方程：求解关于 $a$ 的幂值方程。

✅【答案】

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$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出通项公式 $(x+a{)}^{10}$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_{10}^r\cdot x^{10-r}\cdot a^r$

第二步：确定 $x^7$ 对应的 $r$ 令 $x$ 的指数 $10-r=7$，解得： $r=3$

第三步：提取系数并建立方程 当 $r=3$ 时，该项为 $T_4=C_{10}^3\cdot a^3\cdot x^7$。 由题意知，$x^7$ 的系数为 $15$，故： $C_{10}^3\cdot a^3=15$

第四步：计算与求解 计算组合数 $C_{10}^3$： $C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$ 代入方程得： $120\cdot a^3=15$ $a^3=\frac{15}{120}=\frac{1}{8}$ 由此得： $a=\frac{1}{2}$

故答案为 $\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式与指定项系数。

2. 核心方法：写通项 $T_{r+1}=C_{10}^r{x}^{10-r}{a}^r$，令指数为 $7$ 定 $r$，再令系数等于 $15$ 解 $a$。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 二项式定理通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。

2. 结论推广: 求 $(x+a{)}^n$ 中 $x^k$ 的系数，令 $n-r=k$ 即可锁定对应项。

3. 方法推广: 面对 $(a{x}^m+\frac{b}{x^n}{)}^p$ 这类更复杂的二项式，依然是先写通项，再分离 $x$ 的指数和常数系数。 6. 知识关联: 二项式定理与组合数学、概率论中的二项分布有紧密联系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2013-浙江卷理-11 填-二项式通项
• 2013-安徽卷理-11 填-二项式通项