2007-四川卷理-13 填-函数奇偶性代数判定

本题导读

本题考查指数复合函数的最值求解与偶函数定义的综合应用。通过指数函数的有界性锁定最大值，再利用自变量取相反数函数值相等的特征求出对称轴参数。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(理)） 若函数 $f(x)={\text{e}}^{-(x-u{)}^2}$ ($\text{e}$ 是自然对数的底数) 的最大值是 $m$，且 $f(x)$ 是偶函数，则 $m+u=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 求解最大值 $m$：由于指数部分 $-(x-u{)}^2\le 0$，利用指数函数的单调性直接求出其最大值 $m$．

2. 求解参数 $u$：由偶函数定义满足 $f(-x)=f(x)$ 恒成立，解出参数 $u$ 的确切值．

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

对于函数 $f(x)={\text{e}}^{-(x-u{)}^2}$， 因为 $-(x-u{)}^2\le 0$，且基数 $\text{e}>1$， 所以 ${\text{e}}^{-(x-u{)}^2}\le {\text{e}}^0=1$，即当 $x=u$ 时取得最大值， 故 $m=1$．

又因为函数 $f(x)$ 是偶函数，所以对任意 $x\in \mathbf{R}$，恒有 $f(-x)=f(x)$，即： ${\text{e}}^{-(-x-u{)}^2}={\text{e}}^{-(x-u{)}^2}$ $⟹(-x-u{)}^2=(x-u{)}^2$ $⟹(x+u{)}^2=(x-u{)}^2$ $⟹x^2+2ux+u^2=x^2-2ux+u^2$ $⟹4ux=0$ 要使上式对任意 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立，必须且只需 $u=0$． 因此，$m+u=1+0=1$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合指数函数的极值判定，偶函数的代数特征。

2. 核心方法：指数有界放缩法，代数方程系数对照法。

3. 避坑指南：计算 $m$ 时不要误将底数 $\text{e}$ 参与复杂的微积分求导，直接根据二次方非负性即可锁定最大值；在证明 $u=0$ 时注意利用恒成立方程中对应项系数相等的性质。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于高斯分布（正态分布）概率密度函数的核心数学模型 $y={\text{e}}^{-x^2}$ 的平移变形，属于考查函数基本性质的小综合题。

5. 结论推广：对于任意形如 $f(x)=A\cdot {\text{e}}^{-k(x-u{)}^2}$ ($A,k>0$) 的正态型曲线，其最大值恒为 $A$，且其属于偶函数的充要条件是平移对称轴 $u=0$．

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质