2014-大纲卷理-06 单-椭圆定义与性质

本题导读

本题考查椭圆的定义及基本量之间的关系。核心在于利用椭圆的定义将三角形的周长转化为长轴长，进而结合离心率求得椭圆的标准方程。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的左、右焦点为 $F_1,F_2$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，过 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，若 $△A{F}_{1}B$ 的周长为 $4\sqrt{3}$，则 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{3}+y^2=1$

C. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化周长：根据椭圆的定义，过焦点的弦 $AB$ 与另一个焦点 $F_1$ 构成的三角形 $△A{F}_{1}B$ 的周长等于 $4a$。由此可直接求出 $a$。
2. 利用离心率：结合已知离心率 $e=\frac{c}{a}$，求出焦半距 $c$。
3. 求出 $b$ 值：利用椭圆中基本量的关系 $b^2=a^2-c^2$ 得到 $b^2$。
4. 写出方程：代入标准方程格式得出结论。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用定义求解 $a$ 由椭圆的定义可知，对于椭圆上的点 $A,B$： $|A{F}_1|+|A{F}_2|=2a$ $|B{F}_1|+|B{F}_2|=2a$ 则 $△A{F}_{1}B$ 的周长 $L=|A{F}_1|+|B{F}_1|+|AB|$。 因为直线 $l$ 过 $F_2$，所以 $|AB|=|A{F}_2|+|B{F}_2|$。 故 $L=(|A{F}_1|+|A{F}_2|)+(|B{F}_1|+|B{F}_2|)=2a+2a=4a$。 已知 $L=4\sqrt{3}$，即 $4a=4\sqrt{3}⟹a=\sqrt{3}⟹a^2=3$。

第二步：利用离心率求解 $c$ 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 代入 $a=\sqrt{3}$ 得：$\frac{c}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}⟹c=1⟹c^2=1$。

第三步：计算 $b^2$ 并确定方程 在椭圆中，$b^2=a^2-c^2=3-1=2$。 则椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆定义的应用。过焦点的弦与另一焦点构成的三角形周长恒为 $4a$，这是此类题目的常用结论。

2. 核心方法：整体思想。不需要求出点 $A$ 或点 $B$ 的具体坐标，通过定义将几何长度整体转化为代数基本量。

3. 避坑指南：注意离心率公式 $e=\frac{c}{a}$ 不要记成双曲线的形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 焦点三角形的面积公式 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（$\theta$ 为顶角）。

2. 结论推广: 若直线过左焦点 $F_1$，结论依然成立。若求 $△A{F}_{2}B$ 的周长，同样为 $4a$。

3. 方法推广: 涉及焦点弦的问题，第一时间应考虑椭圆的定义（第一定义或第二定义）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-09 单-椭圆定义与性质
• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质