2007-大纲卷I文-12 单-抛物线焦点弦与三角形面积

本题导读

本题考查抛物线的定义与焦半径，以及直线与抛物线的交点。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(文)） 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，经过 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线在 $x$ 轴上方的部分相交于点 $A$，$AK\perp l$，垂足为 $K$，则 $△AKF$ 的面积是 ()

A. $4$　　　　　　　B. $3\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4\sqrt{3}$　　　　　　　D. $8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $F(1,0)$，$l:x=-1$；直线 $y=\sqrt{3}(x-1)$ 与抛物线联立解出交点。
2. $x$ 轴上方取 $A(3,2\sqrt{3})$；由抛物线定义 $|AK|=|AF|=x_A+\frac{p}{2}=4$。
3. $AK$ 为竖直线段，$F$ 到直线 $AK$ 的距离为 $2$，底乘高。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

抛物线 $y^2=4x$ 的焦点 $F(1,0)$，准线 $l:x=-1$，$p=2$． 过 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线为 $y=\sqrt{3}(x-1)$，与抛物线联立： $3(x-1{)}^2=4x⟹3x^2-10x+3=0⟹x=\frac{1}{3}\text{或}x=3.$ $x=\frac{1}{3}$ 对应的交点在 $x$ 轴下方，故 $A=\left(3,2\sqrt{3}\right)$． 由抛物线的定义，$|AF|=x_A+\frac{p}{2}=3+1=4$；而 $AK\perp l$，$l$ 与 $y$ 轴平行，故 $|AK|=|AF|=4$（$K=\left(-1,2\sqrt{3}\right)$）． $F$ 到直线 $AK$（竖直线 $x=-1$ 上的线段）的距离为 $|1-(-1)|=2\sqrt{3}$，所以 $S_{△AKF}=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3},$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线焦点弦与三角形面积

核心方法：联立定交点 + 焦半径转横坐标

避坑指南：直线与抛物线交于两点，$x$ 轴上方取 $x=3$（对应 $y=2\sqrt{3}>0$），$x=\frac{1}{3}$ 的点在下方，选错交点全盘皆错；$|AK|=|AF|=x_A+\frac{p}{2}$ 是抛物线定义的直接应用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线定义（焦半径）与直线联立结合是大纲卷解析几何小题的高频形态（2011 新课标Ⅰ文第 9 题同型）。

结论推广：$y^2=2px$ 上点 $(x_0,y_0)$ 满足 $|PF|=x_0+\frac{p}{2}$，且过焦点直线交出的弦长可全部化为横坐标。

方法推广：抛物线题先把”到焦点距离”翻译成”横坐标加准线距”，再处理代数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练(Links)

• 2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积
• 2010-重庆卷文-13 填-抛物线焦点弦