2011-新课标卷文-09 单-抛物线焦点弦面积

本题导读

本题考查抛物线的焦点弦（通径），以及三角形面积。

📌【题干】

Question

（2011年新课标卷(文)） 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点，且与 $C$ 的对称轴垂直，$l$ 与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$|AB|=12$，$P$ 为 $C$ 的准线上一点，则 $△ABP$ 的面积为 ()

A. $18$　　　　　　　B. $24$　　　　　　　C. $36$　　　　　　　D. $48$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 步骤1：通径 $|AB|=2p=12$ 得 $p=6$
2. 步骤2：$P$ 在准线上
3. 步骤3：到直线 $AB$ 距离为 $p$
4. 步骤4：$S=\frac{1}{2}\times 12\times 6$

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

设抛物线方程为 $y^2=2px$（$p>0$），则其焦点为 $\left(\frac{p}{2},0\right)$，准线为 $x=-\frac{p}{2}$。

过焦点且垂直于对称轴的直线为通径所在直线，故 $|AB|=2p=12$，从而 $p=6$。点 $P$ 在准线上，故点 $P$ 到直线 $AB$ 的距离为 $p=6$，所以 $S_{△ABP}=\frac{1}{2}\times 12\times 6=36$，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线通径长 $2p$；焦点与准线的距离为 $p$

核心方法：通径定 $p$，准线上的点到弦所在直线的高恒为 $p$，面积与 $P$ 的位置无关

避坑指南：$|AB|=2p$ 给出 $p=6$，高也是 $p$（准线到焦点弦所在直线的距离）；把高错当 $\frac{p}{2}$ 会得 $18$ 错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线通径与面积题，与 2012 年四川卷文第 9 题、2012 年安徽卷文第 14 题同族。

结论推广：通径（过焦点垂直对称轴的弦）长为 $2p$，是抛物线中最短的焦点弦；准线上任意点到通径所在直线的距离均为 $p$，故此类三角形面积为定值 $p^2$。

方法推广：抛物线小题抓住三个距离：焦点到准线 $p$、通径 $2p$、焦准距 $\frac{p}{2}$，多数问题在这三者间转换。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2012-四川卷文-09 单-抛物线焦半径
• 2012-安徽卷文-14 填-抛物线焦点弦
• 2012-新课标卷文-20 解-抛物线与圆的综合