2007-大纲卷I理-01 单-象限角三角函数符号

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系及象限角符号判定。利用定义法或平方和公式，结合第四象限正弦值为负的特质直接求解。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） $\alpha$ 是第四象限角， $\tan \alpha =-\frac{5}{12}$，则 $\sin \alpha =$()

A. $\frac{1}{5}$　　　　　　B. $-\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{5}{13}$　　　　　　D. $-\frac{5}{13}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定符号特征： $\alpha$ 在第四象限 $⟹\sin \alpha <0,\cos \alpha >0$。

2. 构筑代数关系或直角三角形：由 $\tan \alpha =-\frac{5}{12}$ 设对边为 $-5$，邻边为 $12$，斜边由勾股定理算得 $\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=13$。根据定义 $\sin \alpha =\frac{\text{对}}{\text{斜}}$ 直接得出。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $\alpha$ 是第四象限角， 根据三角函数在各象限的符号规律可知，第四象限角的正弦值严格为负，即 $\sin \alpha <0$。

由同角三角函数基本关系式 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\frac{5}{12}$，可设： $\sin \alpha =-5t,\cos \alpha =12t(t>0)$ 代入平方和恒等式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 中： $(-5t{)}^2+(12t{)}^2=1⟹25t^2+144t^2=1⟹169t^2=1$ 由于 $t>0$，解得 $t=\frac{1}{13}$。

将 $t=\frac{1}{13}$ 代回正弦设项中： $\sin \alpha =-5\times \frac{1}{13}=-\frac{5}{13}$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：第四象限角三角函数正负号（一全二正弦，三切四余弦）、弦切互化关系。
2. 核心方法：特值比例设元法（由 5, 12 直接联想勾股数 13，结合第四象限符号直出 $-\frac{5}{13}$）。
3. 避坑指南：

• 极易由于粗心错选 C 项。一定要牢记象限角的符号，第四象限内除了余弦和正割为正外，其余三角函数值均为负。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自高中数学必修四第一章三角函数的基础概念与同角关系题。

2. 结论推广：对于已知 $\tan \alpha =m$，且 $\alpha$ 所在象限确定的题目，一律可由 $\sin \alpha =\pm \frac{|m|}{\sqrt{1+m^2}}$ 结合象限符号直接锁定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式