07.02 三角函数的定义与诱导公式

🟦 三角函数的定义与诱导公式 (Trigonometric Functions)

知识核心

三角函数是研究周期现象的基础。其定义从单位圆出发，经历了从“线段”到“比值”的抽象。掌握核心在于：“坐标化定义”、**“同角恒等变换”以及“奇变偶不变”**的统一化简法则。

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一、 任意角的三角函数定义

1. 坐标定义法

设角 $\alpha$ 终边上任意一点 $P$ 的坐标为 $(x,y)$，它到原点的距离为 $r=|OP|=\sqrt{x^2+y^2}$。

• 定义式：
  • $\sin \alpha =\frac{y}{r}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$
  • $\cos \alpha =\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
  • $\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0)$
• 坐标表示：点 $P(x,y)$ 可表示为 $P(r\cos \alpha ,r\sin \alpha )$。

2. 定义域与符号口诀

• 定义域/值域：
  • $\sin \alpha ,\cos \alpha$：定义域 $\mathbb{R}$，值域 $[-1,1]$。
  • $\tan \alpha$：定义域 $\{\alpha \mid \alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$，值域 $\mathbb{R}$。
• 符号口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦。”
  • 逻辑支撑：正弦看 $y$，余弦看 $x$，正切看比值 $y/x$。

3. 三角函数线（单位圆中有向线段）

在单位圆（$r=1$）中：

• 正弦线：$MP$（点 $P$ 的纵坐标 $y$）
• 余弦线：$OM$（点 $P$ 的横坐标 $x$）
• 正切线：$AT$

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二、 同角三角函数的基本关系式

1. 基础关系

• 平方关系：${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$
• 商数关系：$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

2. 三角完全平方公式（常用变形）

1. $(\sin \alpha \pm \cos \alpha {)}^2=1\pm 2\sin \alpha \cos \alpha =1\pm \sin 2\alpha$
2. $(\sin \alpha +\cos \alpha {)}^2+(\sin \alpha -\cos \alpha {)}^2=2$

3. 齐次式转化（弦化切技巧）

• (1) 一次分式齐次：$\frac{a\sin x+b\cos x}{c\sin x+d\cos x}$，分子分母同除以 $\cos x$ 转化为 $\tan x$。
• (2) 二次整式齐次：$a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$。
  • 大招：分母看作 $1={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$，整体除以 ${\cos }^{2}x$ 转化为关于 $\tan x$ 的表达式。

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三、 三角函数的诱导公式

1. 核心口诀：奇变偶不变，符号看象限

深度解读

• “奇、偶”：指 $k\cdot \frac{\pi }{2}\pm \alpha$ 中 $k$ 的奇偶性。
  • $k$ 为奇数：函数名改变（$\sin \leftrightarrow \cos$）。
  • $k$ 为偶数：函数名不变。
• “符号”：观察 $k\cdot \frac{\pi }{2}\pm \alpha$ 整体所在的象限（将 $\alpha$ 视为第一象限锐角），判断原函数在该象限的正负。

2. 常用公式组汇总

• 对称与周期性：
  • $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$
  • $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$
  • $\tan (\pi +\alpha )=\tan \alpha$
  • $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos (-\alpha )=\cos \alpha$
• 与 $\pi /2$ 相关（互余/互补转换）：
  • $\sin (\frac{\pi }{2}\pm \alpha )=\cos \alpha$
  • $\cos (\frac{\pi }{2}+\alpha )=-\sin \alpha$
  • $\sin (\frac{3\pi }{2}\pm \alpha )=-\cos \alpha$

3. 三角转同名问题（高级应用）

• $\sin \alpha =-\cos (\alpha +\frac{\pi }{2})=\cos (\alpha -\frac{\pi }{2})$
• $\cos \alpha =\sin (\alpha +\frac{\pi }{2})=-\sin (\alpha -\frac{\pi }{2})$

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⚠️ 考场避坑与做题技巧

正切公式的局限性

诱导公式“奇变偶不变”直接针对 $\sin$ 和 $\cos$。对于 $\tan$，建议先化为 $\frac{\sin }{\cos }$ 或记住 $\tan (\frac{\pi }{2}\pm \alpha )=\mp \cot \alpha$。

开方时的正负判定

由 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 求 $\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{\cos }^2\alpha }$ 时，必须根据 $\alpha$ 所在的象限确定正负号，不可漏掉负号讨论。

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