2007-大纲卷I理-04 单-双曲线几何性质

本题导读

本题考查双曲线标准方程的求解。通过焦点位置确定双曲线的型（焦点在 $x$ 轴上），再由焦距与离心率的代数关系建立方程，求出基本量 $a,b$ 的平方值。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 已知双曲线的离心率为 2，焦点是 $(-4,0)$, $(4,0)$，则双曲线方程为()

A. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$

C. $\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{6}=1$　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{10}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断双曲线形态：焦点在 $x$ 轴上，故标准方程形式为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。

2. 提取几何基本量：由焦点 $(4,0)$ 确定半焦距 $c=4$。

3. 利用离心率求实轴：离心率 $e=\frac{c}{a}=2⟹a=\frac{c}{2}=2⟹a^2=4$。

4. 求虚轴并写出方程：利用双曲线内部代数关系 $b^2=c^2-a^2=16-4=12$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：因为双曲线的焦点坐标分别为 $F_1(-4,0)$， $F_2(4,0)$， 焦点明显分布在 $x$ 轴上，且关于原点对称， 由此可确定该双曲线的标准方程构型为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 且半焦距长度为： $c=4⟹c^2=16$

已知双曲线的离心率 $e=2$，根据离心率公式： $e=\frac{c}{a}=2⟹a=\frac{c}{2}=\frac{4}{2}=2⟹a^2=4$

根据双曲线中三个基本特征量的平方差恒等式关系 $b^2=c^2-a^2$，求得虚半轴的平方为： $b^2=16-4=12$

将 $a^2=4,b^2=12$ 代回标准方程模板中，得到： $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：焦点位置决定双曲线标准式的项序、离心率公式 $e=c/a$、双曲线基本量平方恒等式（ $c^2=a^2+b^2$）。
2. 核心方法：公式直接代换法。
3. 避坑指南：

• 极易与椭圆中的代数关系混淆。椭圆中是 $a^2=b^2+c^2$（ $a$ 最大），而双曲线中是 $c^2=a^2+b^2$（ $c$ 最大）。在草稿纸上落笔时务必分清圆锥曲线的类别，避免公式记错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线的标准方程、双曲线的几何性质（离心率、焦距）是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是双曲线的标准方程、双曲线的几何性质（离心率、焦距）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用性质代入法、参数待定系数法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-08 单-双曲线离心率
• 2008-陕西卷文-09 单-双曲线离心率
• 2010-安徽卷理-05 单-双曲线