2008-陕西卷文-09 单-双曲线离心率

本题导读

$\frac{b^2}{2ac}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即 $\sqrt{3}(c^2-a^2)=2ac$；除以 $a^2$ 得 $\sqrt{3}{e}^2-2e-\sqrt{3}=0$，正根 $e=\sqrt{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1$，$F_2$，过 $F_1$ 作倾斜角为 $30^{\circ }$ 的直线交双曲线右支于 $M$ 点．若 $M{F}_2$ 垂直于 $x$ 轴，则双曲线的离心率为()

A. $\sqrt{6}$　　　　　　　B. $\sqrt{3}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

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$M$ 在直线 $x=c$ 上，代入双曲线得纵坐标 $\frac{b^2}{a}$（半通径）；直线 $F_{1}M$ 的斜率 $=\frac{b^2/a}{2c}=\tan 30^{\circ }$，$b^2$ 换成 $c^2-a^2$ 后除以 $a^2$ 即得离心率方程.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $M{F}_2\perp x$ 轴，$M$ 的横坐标为 $c$．代入双曲线右支：$\frac{c^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，得 $y^2=b^2\left(\frac{c^2}{a^2}-1\right)=\frac{b^4}{a^2}$，故 $M\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$． 直线 $F_{1}M$ 的倾斜角为 $30^{\circ }$，故 $k_{F_{1}M}=\frac{\frac{b^2}{a}-0}{c-(-c)}=\frac{b^2}{2ac}=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}$．将 $b^2=c^2-a^2$ 代入：$3(c^2-a^2)=2\sqrt{3}ac$．两边除以 $a^2$ 并令 $e=\frac{c}{a}$：$3(e^2-1)=2\sqrt{3}e$，即 $3e^2-2\sqrt{3}e-3=0$，解得 $e=\frac{2\sqrt{3}\pm \sqrt{12+36}}{6}=\frac{2\sqrt{3}\pm 4\sqrt{3}}{6}$．取正根 $e=\sqrt{3}$（负根舍去）．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率的几何条件转化

核心方法：$M{F}_2\perp x$ 轴给出 $M\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，与直线 $F_{1}M$ 的斜率 $\tan 30^{\circ }$ 联立

避坑指南：$M$ 的纵坐标是 $\frac{b^2}{a}$ 而非 $\frac{b^2}{c}$；离心率方程 $3e^2-2\sqrt{3}e-3=0$ 取正根，负根舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材双曲线几何性质与焦点弦综合

结论推广：通径长 $\frac{2b^2}{a}$，端点为 $\left(\pm c,\pm \frac{b^2}{a}\right)$；半通径端点与焦点连线斜率 $\tan \alpha =\frac{b^2}{2ac}$

方法推广：离心率问题统一把 $b^2=c^2-a^2$ 代入后除以 $a^2$ 化为关于 $e$ 的方程；双曲线按 $e>1$ 检验取根

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2008-陕西卷理-08
• 2012-陕西卷理-11 填-归纳推理
• 2015-陕西卷理-14 填-抛物线性质