2007-大纲卷I理-05 单-集合相等概念解方程组

本题导读

本题考查集合中元素的互异性及集合相等概念。核心在于利用集合具有相同元素但排列无序的性质建立分类讨论，同时必须使用“元素的互异性”对求出的未知数解进行刚性排除筛选。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 设 $a,b\in \mathbf{R}$，集合 $\{1,a+b,a\}=\left\{0,\frac{b}{a},b\right\}$，则 $b-a=$()

A. 1　　　　　　　B. -1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. -2

🔍【思路分析】

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1. 破局切入点（寻找 0 的对位）：右边集合中含有元素 0，分式中分母 $a\ne 0$，故左边集合也必须含有 0。因为 $1\ne 0$，所以要么 $a+b=0$，要么 $a=0$。由分母知 $a\ne 0$，因此必须有 $a+b=0⟹b=-a$。

2. 消元重构集合关系：将 $b=-a$ 带入两个集合中，左边化为 $\{1,0,a\}$，右边化为 $\{0,-1,-a\}$。

3. 建立对应关系解出具体值：比对两个集合，由于 0 已经对齐，只可能是 $a=-1$ 且 $1=-a$。解得 $a=-1,b=1$。

4. 验证并求值：检查元素是否满足互异性，代入计算 $b-a$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：已知两个集合相等： $\{1,a+b,a\}=\left\{0,\frac{b}{a},b\right\}$。 首先，由右边集合中含有分式项 $\frac{b}{a}$ 可知，分母必然不能为 0，即： $a\ne 0\text{(1)}$

因为两个集合完全相等，右边集合包含元素 0，则左边集合中也必须存在一个元素为 0。 由于 $1\ne 0$ 且由①式知 $a\ne 0$，因此只能是中间的项为 0，建立方程： $a+b=0⟹b=-a\text{(2)}$

将②式 $b=-a$ 代入原相等的两个集合中，将变量 $b$ 全额消去： $\text{左边集合}=\{1,0,a\}$ $\text{右边集合}=\left\{0,\frac{-a}{a},-a\right\}=\{0,-1,-a\}$ 此时满足代数等式： $\{1,0,a\}=\{0,-1,-a\}$

由于两个集合中的元素 0 已经实现对齐，根据集合相等的无序对应原则，剩余的元素必须两两对等。 观察发现，若令 $1=-a⟹a=-1$，此时剩余项自动满足 $a=-1$，两项完美对齐。 (注：若令 $1=a$，则左集为 $\{1,0,1\}$，触发集合元素互异性冲突，舍去。)

因此，解得参数为： $a=-1$ 代回②式中，求得： $b=-(-1)=1$

• 核校集合元素互异性： 将 $a=-1,b=1$ 代回原集合：

• 左集 $=\{1,0,-1\}$，三个元素互不相同，合规；
• 右集 $=\{0,-1,1\}$，三个元素互不相同，合规。 解有效。

最终要求计算的目标代数式值为： $b-a=1-(-1)=1+1=2$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式分母不为零的隐性限制、集合相等的元素等价映射、集合元素互异性的回代检验。
2. 核心方法：特征元素对位突破法。
3. 避坑指南：

• 集合大题中最容易翻车的核心陷阱就是忘记检验“元素的互异性”。本题中如果由于粗心认为 $a=1$，代回左集会产生两个数字 1，这就违背了集合的基本定义。任何时候算完集合中的未知数，必须养成回代检查有没有相同重复元素的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合中元素的特征（确定性、互异性、无序性）、集合相等的概念与解方程组是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是集合中元素的特征（确定性、互异性、无序性）、集合相等的概念与解方程组的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用互异性分类讨论法、元素一一对应代入法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-16 单-复数与集合
• 2013-湖北卷文-17 填-格点多边形
• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式